I poligoni sono figure piane chiuse formate da segmenti consecutivi: scoprire le loro proprietà significa imparare a riconoscerli, classificarli e misurarli con precisione.
Quando in geometria parliamo di poligono intendiamo una figura piana delimitata da una linea spezzata chiusa, cioè da una sequenza ordinata di segmenti che si toccano solo agli estremi. Questi segmenti si chiamano lati, mentre i punti in cui due lati si incontrano prendono il nome di vertici. Ogni vertice è anche l'origine di un angolo interno, racchiuso dai due lati che vi convergono, e di un angolo esterno, formato dal prolungamento di un lato. Il numero dei lati coincide sempre con il numero dei vertici e con il numero degli angoli interni, perciò un poligono di sei lati avrà sei vertici e sei angoli. Capire questa corrispondenza è fondamentale per affrontare con sicurezza tutti gli argomenti successivi della geometria piana.
Classificazione e proprietà fondamentali
I poligoni si classificano innanzitutto in base al numero dei lati e ricevono nomi specifici come triangolo, quadrilatero, pentagono, esagono, ettagono, ottagono e così via. Una seconda distinzione importante riguarda la convessità: un poligono è convesso quando, prolungando un qualsiasi lato, l'intera figura resta da una sola parte della retta, altrimenti si dice concavo. Si parla poi di poligono regolare quando tutti i lati hanno la stessa lunghezza e tutti gli angoli interni la stessa ampiezza, come accade nel quadrato o nell'esagono delle celle di un alveare. All'interno di un poligono possiamo tracciare le diagonali, cioè i segmenti che uniscono due vertici non consecutivi, e il loro numero cresce rapidamente al crescere dei lati. In un poligono con n lati, il numero totale delle diagonali è dato dalla formula n·(n−3)/2, mentre da ciascun vertice partono esattamente n−3 diagonali. Queste proprietà permettono di distinguere subito le figure e di prevederne il comportamento prima ancora di disegnarle.
Angoli e perimetro
La somma degli angoli interni di un poligono dipende solo dal numero dei lati e si calcola con la formula (n−2)·180°, perché qualunque poligono convesso può essere suddiviso in n−2 triangoli tracciando le diagonali da un solo vertice. La somma degli angoli esterni, invece, vale sempre 360° qualunque sia il numero dei lati, un risultato sorprendente ma molto utile nelle dimostrazioni. Se il poligono è regolare, ogni angolo interno misura (n−2)·180°/n e ogni angolo esterno misura 360°/n, perché tutti gli angoli sono uguali fra loro. Il perimetro, infine, è la somma delle lunghezze di tutti i lati e nei poligoni regolari si ottiene semplicemente moltiplicando la misura di un lato per il numero dei lati. Consideriamo per esempio un pentagono regolare con il lato di 7 cm: la somma dei suoi angoli interni vale (5−2)·180° = 540°, ogni angolo misura 540°:5 = 108° e il perimetro è 7·5 = 35 cm. Padroneggiare queste formule consente di affrontare qualsiasi problema sui poligoni con metodo e sicurezza.
Ricorda
- In un poligono il numero di lati, vertici e angoli interni è sempre lo stesso, e da ogni vertice partono n−3 diagonali.
- La somma degli angoli interni di un poligono di n lati è (n−2)·180°, mentre la somma degli angoli esterni vale sempre 360°.
- Un poligono è regolare quando ha tutti i lati e tutti gli angoli uguali, e il suo perimetro si ottiene moltiplicando il lato per il numero dei lati.
- Piccolo esercizio sul quaderno: disegna un ottagono regolare, calcola la somma dei suoi angoli interni, la misura di un singolo angolo interno e il numero totale delle sue diagonali, mostrando ogni passaggio.