I poligoni sono le figure geometriche piane che usiamo ogni giorno senza accorgercene: dal triangolo di un cartello stradale all'esagono delle celle di un alveare. In questa lezione impareremo a riconoscerli, classificarli e a scoprirne le proprietà fondamentali, così da poterli studiare con sicurezza nel corso di geometria.
Che cos'è un poligono
Un poligono è una figura piana delimitata da una linea spezzata chiusa, cioè da una successione di segmenti consecutivi che non si attraversano tra loro e che ritornano al punto di partenza. I segmenti che formano questo contorno si chiamano lati, mentre i punti in cui due lati si incontrano prendono il nome di vertici. La parola stessa, di origine greca, significa letteralmente "molti angoli" e ci ricorda che ogni vertice corrisponde anche a un angolo interno della figura. Per essere un poligono, dunque, occorrono almeno tre lati: con due segmenti non si potrebbe mai chiudere una regione del piano.
Pensiamo, per esempio, al cartello di stop che vediamo agli incroci: il suo contorno è un poligono con otto lati ed è un esempio quotidiano di poligono regolare. Allo stesso modo, una mattonella esagonale del pavimento di una cucina rappresenta un altro poligono familiare, fatto di sei segmenti uguali. Questi oggetti ci mostrano come la geometria sia presente nella vita reale, anche dove non la cerchiamo apparentemente.
Gli elementi fondamentali
Ogni poligono possiede alcuni elementi che dobbiamo imparare a riconoscere e nominare con precisione, perché ci serviranno in ogni problema. I lati sono i segmenti del contorno, i vertici sono i punti che li uniscono e gli angoli interni sono quelli compresi tra due lati consecutivi all'interno della figura. Esistono poi gli angoli esterni, che si formano prolungando un lato oltre il vertice, e le diagonali, cioè i segmenti che uniscono due vertici non consecutivi. Il perimetro, infine, è la somma delle lunghezze di tutti i lati e si misura come una linea, in centimetri o in metri.
Immaginiamo il telaio di un aquilone a forma di rombo: i quattro bastoncini sono i lati, i punti dove sono legati con lo spago sono i vertici, e la croce di sostegno interna corrisponde proprio alle due diagonali del rombo. Pensiamo anche a un campo da calcio rettangolare: il suo perimetro è la distanza che un giocatore percorre correndo lungo le linee bianche di bordo, dato dalla somma dei quattro lati.
Poligoni concavi e convessi
Una distinzione molto importante riguarda la forma del contorno: un poligono si dice convesso quando tutti i suoi angoli interni sono minori di un angolo piatto, mentre si dice concavo se almeno uno dei suoi angoli interni supera i 180°. Un altro modo semplice per riconoscere un poligono convesso è verificare che ogni segmento che unisce due punti qualsiasi della figura resti sempre al suo interno. Nei poligoni concavi, invece, si può tracciare almeno un segmento tra due punti interni che esce dalla figura, attraversando l'esterno. Tutte le diagonali di un poligono convesso giacciono dentro la figura, mentre in quello concavo alcune diagonali cadono fuori.
Un esempio classico di poligono concavo è la sagoma di una stella a cinque punte disegnata sul quaderno, perché i suoi angoli "rientranti" superano l'angolo piatto. Un quadrato disegnato sulla scacchiera, invece, è un perfetto poligono convesso, dato che nessuno dei suoi angoli supera i 90°.
Classificazione in base al numero di lati
I poligoni vengono classificati prima di tutto in base al numero di lati e di angoli, che è sempre uguale. Con tre lati abbiamo il triangolo, con quattro il quadrilatero, con cinque il pentagono, con sei l'esagono, con sette l'ettagono e con otto l'ottagono; salendo ancora troviamo l'ennagono a nove lati e il decagono a dieci. I nomi derivano dal greco antico, dove i numerali si combinavano con la parola "gonia", che significa angolo. Quando il numero di lati è molto grande, si parla genericamente di poligono "con n lati", indicando con la lettera n un numero intero qualsiasi maggiore di due.
Pensiamo alla segnaletica stradale: il cartello di precedenza ha la forma di un triangolo, mentre quello di divieto di accesso è un cerchio, dunque non è un poligono. Le mattonelle a nido d'ape che ricoprono certi bagni sono esagoni, e ci mostrano che con questa figura si può ricoprire perfettamente una superficie senza lasciare spazi vuoti tra una piastrella e l'altra.
Poligoni regolari e irregolari
Un poligono si dice regolare quando ha tutti i lati di uguale lunghezza e contemporaneamente tutti gli angoli interni di uguale ampiezza: queste due condizioni devono valere insieme, non basta una soltanto. Un rombo, per esempio, ha tutti i lati uguali ma non è regolare, perché i suoi angoli non sono tutti della stessa ampiezza. Allo stesso modo, un rettangolo ha tutti gli angoli retti ma non è regolare, dato che i lati non sono tutti uguali fra loro. Il poligono regolare più semplice è il triangolo equilatero, seguito dal quadrato, dal pentagono regolare e così via, salendo nel numero di lati.
La moneta da un euro vista di taglio è quasi un cerchio, ma alcune monete di altri Paesi, come la sterlina inglese, hanno forma di poligono regolare a dodici lati. Anche la classica figura del segnale di stop, esagonale o ottagonale, è progettata come poligono regolare proprio per essere ben riconoscibile da ogni direzione.
La somma degli angoli interni
Un risultato fondamentale della geometria afferma che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre uguale a 180°, qualunque sia la sua forma o dimensione. Da questa proprietà si può ricavare la regola generale per qualsiasi poligono convesso, perché ogni figura con n lati può essere divisa in (n − 2) triangoli tracciando le diagonali da un solo vertice. La somma degli angoli interni di un poligono con n lati è quindi data dalla formula S = (n − 2) · 180°. Se il poligono è anche regolare, basta poi dividere questa somma per il numero degli angoli, ottenendo l'ampiezza di ciascuno di essi.
Proviamo con il quadrato: ha 4 lati, quindi la somma degli angoli interni vale (4 − 2) · 180° = 360°, e poiché è regolare ogni angolo misura 90°. Pensiamo poi all'esagono regolare di una piastrella: ha 6 lati, la somma vale (6 − 2) · 180° = 720°, e ogni angolo interno misura 120°, ed è proprio per questo che tre esagoni si incontrano perfettamente in un punto per ricoprire il pavimento.
Perimetro e prime misure
Il perimetro è la lunghezza del contorno del poligono, cioè la somma delle misure di tutti i suoi lati, e si esprime con un'unità di misura lineare come il centimetro o il metro. Nei poligoni regolari il calcolo è particolarmente semplice, perché basta moltiplicare la misura di un solo lato per il numero totale dei lati. Nei poligoni irregolari, invece, dobbiamo sommare con cura tutte le lunghezze, una per una, prestando attenzione a non dimenticarne nessuna. Conoscere il perimetro è utile in tante situazioni concrete, ogni volta che dobbiamo recintare, contornare o misurare il bordo di una superficie reale.
Se vogliamo costruire una cornice quadrata per una fotografia con lato di 18 cm, ci servirà un listello di legno lungo almeno 18 · 4 = 72 cm. Se invece dobbiamo recintare un orto a forma di pentagono irregolare con lati di 4 m, 5 m, 6 m, 7 m e 3 m, occorreranno 25 metri di rete metallica per chiudere tutto il contorno.
Ricorda
- Un poligono è una figura piana delimitata da una linea spezzata chiusa, formata da almeno tre lati.
- Gli elementi principali sono lati, vertici, angoli interni ed esterni, diagonali e perimetro.
- I poligoni si distinguono in convessi (angoli tutti minori di 180°) e concavi (almeno un angolo maggiore di 180°).
- Si classificano in base al numero di lati: triangolo, quadrilatero, pentagono, esagono e così via.
- Un poligono è regolare se ha tutti i lati e tutti gli angoli congruenti tra loro.
- La somma degli angoli interni di un poligono convesso con n lati vale S = (n − 2) · 180°.
- Il perimetro è la somma delle misure di tutti i lati della figura.
Piccolo esercizio di verifica: sul tuo quaderno disegna un pentagono regolare e un esagono irregolare. Per ciascuno indica con una lettera i vertici, colora di rosso un angolo interno, traccia in blu tutte le diagonali e calcola la somma degli angoli interni usando la formula S = (n − 2) · 180°. Infine, supponendo che il pentagono regolare abbia lato 6 cm, calcola il suo perimetro e confrontalo con quello dell'esagono irregolare, ipotizzando misure dei lati a tua scelta.