Risolvere un problema non significa sempre trovare un unico numero come risposta: a volte la soluzione è un insieme di numeri, cioè una famiglia di valori che soddisfano tutte le condizioni del testo.
Che cosa significa risolvere un problema
Risolvere un problema di matematica significa leggere con attenzione un testo, individuare i dati che ci vengono forniti e capire qual è la domanda a cui dobbiamo rispondere. Non basta fare un calcolo a caso: occorre costruire un ragionamento che colleghi i dati al risultato richiesto, controllando passo dopo passo che ogni operazione abbia senso. Pensa a quando devi organizzare una merenda per i tuoi amici: sai quanti sono, sai quanto puoi spendere e devi decidere cosa comprare. Anche in quel caso stai risolvendo un problema, perché trasformi informazioni reali in numeri e operazioni. Allo stesso modo, in classe, davanti a un testo scritto dobbiamo trasformare le parole in dati e i dati in calcoli. Risolvere significa quindi capire, scegliere e verificare, non solo eseguire.
Dati, incognite e relazioni
In ogni problema esistono tre elementi fondamentali che bisogna saper riconoscere: i dati, le incognite e le relazioni che li collegano. I dati sono i numeri o le informazioni già presenti nel testo, mentre le incognite sono ciò che non sappiamo e che dobbiamo scoprire. Le relazioni sono le frasi che spiegano come dati e incognite sono legati fra loro, ad esempio espressioni come "il doppio di", "la somma è", "ne mancano tre". Immagina questo testo: in una scatola ci sono biglie rosse e biglie blu, in tutto 20 biglie, e quelle rosse sono 4 più delle blu; il dato è 20, le incognite sono il numero di biglie rosse e di biglie blu, la relazione è la differenza di 4. Un altro esempio: la mamma ha 35 anni e ha il triplo degli anni di Luca; qui il dato è 35, l'incognita è l'età di Luca, la relazione è il rapporto di un terzo. Riconoscere questi tre elementi è il primo passo per costruire una soluzione corretta.
La soluzione come insieme di numeri
Molte volte pensiamo che un problema abbia una sola risposta, ma in realtà la soluzione può essere un insieme di numeri che rispettano tutte le condizioni richieste. Pensa a questa situazione: trova tutti i numeri naturali minori di 30 che sono multipli di 6; la risposta non è un numero solo ma l'insieme formato da 0, 6, 12, 18 e 24. Allo stesso modo, se il problema chiede quali numeri naturali divisi per 4 danno resto 1 ed sono compresi fra 10 e 25, dobbiamo trovare 13, 17 e 21, cioè tre numeri diversi. Capire che la soluzione può essere un insieme ci aiuta a non fermarci al primo risultato che ci viene in mente, ma a cercarli tutti con metodo. È un cambio di sguardo importante: la matematica non chiede sempre una risposta unica, a volte chiede di descrivere una collezione completa. Questo modo di pensare ci servirà moltissimo negli anni successivi, quando incontreremo equazioni e disequazioni.
I passi per risolvere un problema
Per affrontare un problema in modo ordinato è utile seguire una procedura precisa, che ci eviti di dimenticare passaggi o di confondere i calcoli. Questa procedura vale per ogni tipo di problema e diventa sempre più automatica con l'esercizio.
- Leggi il testo almeno due volte e sottolinea i dati numerici.
- Scrivi con parole tue qual è la domanda del problema.
- Individua le relazioni fra dati e incognite, anche con un disegno o uno schema.
- Scegli le operazioni adatte e svolgi i calcoli con ordine.
- Scrivi la risposta in modo completo, controllando che sia coerente con il testo.
Facciamo un esempio concreto: "In una pizzeria ci sono 8 tavoli da 4 posti e 5 tavoli da 6 posti; quanti clienti possono cenare insieme?". Seguendo i passi otteniamo 8 per 4 uguale 32, poi 5 per 6 uguale 30, infine 32 più 30 uguale 62 clienti. Un secondo esempio: "Marco ha 18 figurine, Sara ne ha il doppio meno 5; quante figurine ha Sara?". Calcoliamo 18 per 2 uguale 36, poi 36 meno 5 uguale 31 figurine.
Problemi con più soluzioni
Alcuni problemi non hanno una risposta unica perché le condizioni date sono soddisfatte da più valori contemporaneamente, e in questi casi dobbiamo elencare tutte le possibilità. Si parla allora di problemi con più soluzioni, e per risolverli conviene procedere in modo sistematico, provando i numeri uno dopo l'altro senza saltarne nessuno. Pensa a questo testo: trova tutte le coppie di numeri naturali la cui somma è 10 e il cui prodotto è maggiore di 20; le coppie possibili sono 3 e 7, 4 e 6, 5 e 5, perché 1 e 9 dà prodotto 9 e 2 e 8 dà prodotto 16. Un altro esempio: in una classe ci sono fra 20 e 30 alunni, e si possono dividere in gruppi da 4 senza avanzi; allora la classe può avere 20, 24 o 28 alunni, e tutte e tre le risposte sono accettabili finché non abbiamo altre informazioni. Procedere per tentativi ordinati ci permette di non perdere nessuna soluzione e di accorgerci subito se ne abbiamo trovate molte.
Problemi senza soluzione o con dati superflui
Non tutti i problemi hanno una risposta: a volte i dati sono incompleti, contraddittori oppure ne abbiamo più di quanti ne servano. Riconoscere un problema impossibile o ridondante è un'abilità importantissima, perché ci insegna a leggere con spirito critico. Per esempio: "Anna ha 7 anni e suo fratello è più grande di lei; quanti anni ha il fratello?" non ha soluzione, perché potrebbe avere 8, 12 o 40 anni e non possiamo decidere. Un altro caso: "Un treno parte alle 9, viaggia a 80 km/h ed è composto da 6 vagoni; dopo 2 ore quanta strada ha percorso?". Il numero dei vagoni è un dato superfluo, perché non serve al calcolo della distanza, che è 80 per 2 uguale 160 km. Allenarsi a distinguere i dati utili da quelli inutili ci rende risolutori più solidi e consapevoli.
Strategie utili: schemi, disegni e tabelle
Quando un problema sembra complicato, una buona idea è rappresentarlo con uno schema, un disegno o una tabella, perché spesso la vista aiuta più dei numeri. Disegnare segmenti per rappresentare le quantità, oppure costruire una tabella a doppia entrata, ci permette di vedere subito le relazioni nascoste nel testo. Per esempio, se due persone si dividono 60 caramelle in modo che una ne abbia il doppio dell'altra, possiamo disegnare un segmento corto e uno lungo il doppio: in totale ci sono tre parti uguali, ognuna da 20 caramelle, quindi una persona ne avrà 20 e l'altra 40. Oppure, per un problema sulle monete, possiamo fare una tabella con quante monete da 1 euro e quante da 2 euro per raggiungere 7 euro: scopriamo che ci sono diverse combinazioni possibili, come 1+1+1+1+1+2 oppure 1+2+2+2. Gli schemi non sono un modo "da piccoli" di lavorare, ma una vera strategia matematica che useremo per tutta la scuola.
Ricorda
- Risolvere un problema vuol dire collegare dati, incognite e relazioni con un ragionamento ordinato e verificabile.
- La soluzione non è sempre un solo numero: può essere un insieme di numeri che soddisfano tutte le condizioni del testo.
- Segui i cinque passi: leggi, individua la domanda, trova le relazioni, calcola, rispondi controllando.
- Attenzione ai problemi senza soluzione, con dati superflui o con più risposte possibili.
- Usa schemi, disegni e tabelle quando il testo sembra difficile da gestire solo a mente.
Piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: trova sul quaderno tutti i numeri naturali compresi fra 1 e 50 che sono contemporaneamente multipli di 3 e dispari; scrivi prima un elenco di tentativi, poi cerchia quelli che rispettano entrambe le condizioni e scrivi la soluzione come insieme racchiuso fra parentesi graffe.