I multipli di un numero si ottengono moltiplicandolo per i numeri naturali; i divisori sono i numeri che lo dividono senza resto.
In aritmetica capita spesso di chiedersi se un numero sia contenuto esattamente in un altro, oppure quali numeri si possano ottenere ripetendo una certa quantità. Queste due domande introducono i concetti di multiplo e di divisore, che sono il punto di partenza per molti argomenti successivi come le frazioni, il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore. Si tratta di idee semplici, ma vanno comprese con precisione perché il linguaggio matematico non ammette confusioni. Sapere riconoscere multipli e divisori significa anche saper svolgere divisioni rapide e ragionate, senza affidarsi sempre alla calcolatrice.
Cosa sono i multipli
Un numero naturale si dice multiplo di un altro quando si ottiene moltiplicando quest'ultimo per un numero naturale qualsiasi. Per esempio i multipli di 6 sono 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36 e così via, perché si ottengono moltiplicando 6 per 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ogni numero ha infiniti multipli, perché la sequenza prosegue senza mai fermarsi: basta continuare a moltiplicare per numeri sempre più grandi. È importante ricordare che lo zero è multiplo di qualsiasi numero, mentre ogni numero è multiplo di se stesso e anche di 1. Per verificare se un certo numero è multiplo di un altro si esegue la divisione fra i due: se il resto è uguale a zero, allora il primo è davvero un multiplo del secondo, altrimenti no.
Cosa sono i divisori
Un numero naturale si dice divisore di un altro quando la divisione fra il secondo e il primo dà resto zero, cioè quando il primo è contenuto un numero esatto di volte nel secondo. Per esempio i divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6, 12 perché ciascuno di essi divide 12 senza lasciare resto, mentre 5 non lo è perché 12 diviso 5 fa 2 con resto 2. A differenza dei multipli, i divisori di un numero sono sempre in quantità finita, perché non possono essere maggiori del numero stesso. Per trovarli tutti conviene procedere in modo ordinato, partendo da 1 e provando i numeri successivi, fermandosi quando si supera la metà del numero (escluso il numero stesso, che è sempre divisore). Esistono inoltre criteri di divisibilità rapidi: un numero è divisibile per 2 se termina con cifra pari, per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3, per 5 se termina con 0 oppure 5, per 10 se termina con 0.
Ricorda
- I multipli di un numero sono infiniti e si ottengono moltiplicandolo per 0, 1, 2, 3, 4 e così via senza fine.
- I divisori di un numero sono finiti e dividono quel numero con resto uguale a zero; 1 e il numero stesso sono sempre suoi divisori.
- I criteri di divisibilità per 2, 3, 5 e 10 permettono di riconoscere subito se un numero è divisibile senza eseguire la divisione.
- Piccolo esercizio sul quaderno: scrivi i primi sette multipli di 8 e poi elenca tutti i divisori di 24; infine cerchia i numeri che compaiono in entrambi gli elenchi.