Introduzione
Le quattro operazioni fondamentali — addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione — sono strumenti di calcolo che useremo in tutto il percorso scolastico e nella vita quotidiana. Ogni operazione possiede regole interne, chiamate proprietà, che non sono trucchi nascosti ma vere e proprie leggi che il calcolo rispetta sempre. Conoscere queste proprietà ci permette di calcolare più velocemente, di controllare i risultati e di trasformare espressioni complicate in altre molto più semplici.
Le quattro operazioni e i loro termini
Nell'addizione i numeri che sommiamo si chiamano addendi e il risultato è la somma; nella sottrazione abbiamo il minuendo, il sottraendo e la differenza, e ricordiamo che la sottrazione si può eseguire solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo nell'insieme dei numeri naturali. Nella moltiplicazione i numeri si chiamano fattori e il risultato si chiama prodotto, mentre nella divisione abbiamo dividendo, divisore e quoziente, con l'eventuale resto quando la divisione non è esatta. Una distinzione importante riguarda la possibilità di scambiare i numeri: nell'addizione e nella moltiplicazione ciò è sempre lecito, mentre nella sottrazione e nella divisione cambiare l'ordine modifica il risultato oppure rende l'operazione impossibile. Esistono inoltre due elementi neutri: lo zero per l'addizione e l'uno per la moltiplicazione, perché aggiungere zero o moltiplicare per uno lascia il numero invariato. Va ricordato che la divisione per zero non è mai consentita, mentre zero diviso un numero diverso da zero dà sempre zero come quoziente. Queste definizioni costituiscono il vocabolario indispensabile per parlare con precisione di calcolo.
Le proprietà delle operazioni
La proprietà commutativa afferma che cambiando l'ordine degli addendi o dei fattori il risultato non cambia, mentre la proprietà associativa permette di raggruppare in modo diverso più addendi o più fattori senza alterare il risultato finale. Esiste poi la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione e alla sottrazione, che ci consente di moltiplicare un numero per una somma moltiplicandolo per ciascun termine e poi sommando i prodotti, ed è uno degli strumenti più potenti per il calcolo mentale. Per la sottrazione e la divisione vale invece la proprietà invariantiva: se aggiungiamo o togliamo lo stesso numero al minuendo e al sottraendo la differenza resta uguale, e se moltiplichiamo o dividiamo dividendo e divisore per uno stesso numero diverso da zero il quoziente non cambia. Ad esempio, per calcolare 15 × 12 possiamo applicare la distributiva scrivendo 15 × (10 + 2), che diventa 15 × 10 + 15 × 2 = 150 + 30 = 180, ottenendo il risultato in pochi secondi senza incolonnare. Bisogna fare attenzione a non applicare le proprietà alle operazioni sbagliate: la commutativa non vale nella sottrazione né nella divisione, perché 9 − 4 e 4 − 9 portano a risultati diversi. Riconoscere quando una proprietà si può usare e quando invece è vietata è una delle competenze più importanti che svilupperemo in questo argomento.
Ricorda
- Commutativa e associativa valgono solo per addizione e moltiplicazione; distributiva collega moltiplicazione con addizione e sottrazione.
- Invariantiva è esclusiva di sottrazione e divisione; lo zero è neutro nell'addizione, l'uno nella moltiplicazione, e la divisione per zero è impossibile.
- Verifica attiva sul quaderno: calcola 25 × 14 applicando la proprietà distributiva, scomponendo 14 in (10 + 4); scrivi tutti i passaggi e confronta poi il risultato con la moltiplicazione eseguita in colonna.