Un sistema di numerazione è un insieme di regole e simboli che permette di scrivere e leggere i numeri in modo ordinato e comprensibile a tutti.
Fin dall'antichità l'essere umano ha avuto bisogno di contare gli oggetti, gli animali e i giorni che passavano, e per farlo ha inventato modi diversi per rappresentare le quantità. Ogni popolo ha sviluppato il proprio sistema, scegliendo simboli particolari e regole precise per combinarli tra loro. Oggi noi usiamo quotidianamente un sistema molto efficiente, ma è importante capire come funziona davvero e perché è stato preferito ad altri nel corso della storia. Conoscere i sistemi di numerazione significa comprendere il linguaggio segreto con cui scriviamo qualsiasi quantità, dai prezzi al supermercato fino alle distanze tra le stelle. Questo argomento è la base di tutta la matematica che incontrerai negli anni successivi, perché senza numeri non potremmo eseguire nessuna operazione.
Sistemi posizionali e sistemi additivi
Esistono due grandi famiglie di sistemi di numerazione, che si distinguono per il modo in cui i simboli assumono valore quando vengono accostati. Nei sistemi additivi, come quello dei Romani, ogni simbolo ha un valore fisso e per ottenere il numero finale si sommano (o talvolta si sottraggono) i valori dei segni scritti uno accanto all'altro. Nei sistemi posizionali, invece, ogni cifra cambia il proprio valore a seconda della posizione che occupa all'interno del numero, rendendo la scrittura molto più compatta ed elegante. Il nostro sistema decimale è posizionale e usa dieci cifre, da 0 a 9, mentre il sistema romano è additivo e usa lettere come I, V, X, L, C, D, M. La differenza fondamentale è che nei sistemi posizionali esiste lo zero, un simbolo speciale che indica l'assenza di unità in una certa posizione e che permette di distinguere il 25 dal 205. Questa invenzione è considerata una delle più importanti della storia del pensiero umano.
Il sistema decimale e la base
Il sistema che usiamo abitualmente si chiama decimale perché è costruito sulla base dieci, cioè raggruppa le quantità in gruppi di dieci elementi alla volta. Ogni posizione, partendo da destra, vale dieci volte di più della precedente: abbiamo le unità, le decine, le centinaia, le migliaia e così via, secondo una progressione regolare. Per esempio, nel numero 3.472 la cifra 3 vale tremila, il 4 vale quattrocento, il 7 vale settanta e il 2 vale due, quindi il valore complessivo si ottiene sommando questi contributi. Possiamo scrivere lo stesso numero in forma polinomiale come 3×1000 + 4×100 + 7×10 + 2×1, mettendo in evidenza il ruolo delle potenze di dieci. Esistono però anche altre basi possibili: i computer lavorano in base due, usando solo le cifre 0 e 1, mentre gli antichi Babilonesi usavano la base sessanta, che sopravvive ancora oggi nei minuti e nei secondi. La scelta della base dieci nella nostra cultura deriva probabilmente dal fatto che abbiamo dieci dita nelle mani, lo strumento di calcolo più antico e naturale.
Ricorda
- Un sistema di numerazione è additivo se i valori dei simboli si sommano, posizionale se il valore di ogni cifra dipende dal posto che occupa.
- Il sistema decimale ha base dieci, usa dieci cifre da 0 a 9 e sfrutta lo zero per indicare le posizioni vuote.
- Esercizio attivo sul quaderno: scrivi il numero 5.806 in forma polinomiale, indicando il valore di ciascuna cifra; poi prova a tradurlo in numeri romani e confronta le due scritture, osservando quale delle due risulta più rapida da leggere.