Introduzione
I numeri naturali sono i numeri che usiamo per contare gli oggetti del mondo che ci circonda e per ordinarli secondo una posizione precisa.
L'insieme dei numeri naturali si indica con il simbolo N e contiene i numeri 0, 1, 2, 3, 4, 5 e così via, senza mai fermarsi. Questi numeri sono lo strumento più antico e potente che l'umanità abbia inventato per descrivere quantità e per mettere in ordine le cose. Nella scuola secondaria impariamo a riconoscerli non solo come simboli, ma come elementi di un insieme dotato di proprietà precise e regole di calcolo.
Caratteristiche dell'insieme N
L'insieme N è infinito verso destra, cioè non esiste un numero naturale più grande di tutti gli altri: dato un qualsiasi numero, possiamo sempre aggiungere 1 e ottenerne uno maggiore. Esiste invece un numero più piccolo di tutti, lo zero, che rappresenta l'assenza di quantità e segna l'inizio della successione. Ogni numero naturale ha un successivo, che si ottiene aggiungendo 1, e ogni numero diverso da zero ha un precedente, che si ottiene togliendo 1. I numeri naturali si possono rappresentare su una semiretta orientata, detta semiretta dei numeri, dove ogni numero occupa una posizione fissa e la distanza tra due numeri consecutivi è sempre uguale. Questa rappresentazione permette di confrontare due numeri con i simboli di maggiore (>), minore (<) e uguale (=), notando che un numero è tanto più grande quanto più si trova a destra sulla semiretta. Il nostro sistema di scrittura è posizionale e in base dieci, perciò ogni cifra assume un valore diverso a seconda della posizione che occupa, dalle unità alle decine, alle centinaia, alle migliaia.
Le quattro operazioni e le loro proprietà
Con i numeri naturali possiamo eseguire quattro operazioni fondamentali, ognuna con regole e proprietà ben definite. L'addizione e la moltiplicazione sono sempre possibili in N e godono delle proprietà commutativa, associativa e dissociativa; la moltiplicazione gode inoltre della proprietà distributiva rispetto all'addizione e alla sottrazione. La sottrazione, invece, è possibile soltanto quando il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo, altrimenti il risultato uscirebbe dall'insieme N. La divisione tra due numeri naturali si dice esatta quando il resto è zero, altrimenti diventa una divisione con resto, dove vale la relazione dividendo = divisore × quoziente + resto. Ricordiamo poi che lo zero è elemento neutro dell'addizione, l'uno è elemento neutro della moltiplicazione, mentre moltiplicare per zero dà sempre zero e dividere per zero è un'operazione priva di significato. Per esempio, nell'espressione 4 × (10 + 6) possiamo applicare la proprietà distributiva e ottenere 4 × 10 + 4 × 6 = 40 + 24 = 64, scomponendo un calcolo difficile in due calcoli più semplici.
Ricorda
- L'insieme N comincia da 0, non ha un ultimo elemento e ogni numero ha un successivo che si ottiene aggiungendo 1.
- Il sistema decimale è posizionale: la stessa cifra cambia valore secondo la posizione che occupa nel numero.
- Addizione e moltiplicazione sono sempre eseguibili in N, mentre sottrazione e divisione hanno delle limitazioni precise da rispettare.
- Prova ora sul quaderno: scrivi il precedente e il successivo dei numeri 99, 1000 e 2025, poi calcola 7 × (20 + 3) usando la proprietà distributiva e verifica il risultato con il calcolo diretto.