I numeri naturali sono i mattoncini con cui contiamo, ordiniamo e misuriamo il mondo: in questa lezione scopriremo da dove nascono, come si scrivono e come si confrontano.
Che cosa sono i numeri naturali
I numeri naturali sono quelli che usiamo ogni giorno per contare oggetti, persone, animali e quantità reali che troviamo intorno a noi. L'insieme che li raccoglie si indica con il simbolo N e comprende 0, 1, 2, 3, 4, 5 e così via, senza mai fermarsi. Sono numeri interi e positivi, cioè non hanno virgole né segno meno davanti, perché rappresentano quantità che possiamo davvero osservare nella realtà. Quando in cartoleria ci chiedono quanti quaderni vogliamo, oppure quando in palestra contiamo i salti con la corda, stiamo usando esattamente questi numeri. Il loro punto di partenza è lo zero, che indica l'assenza totale di oggetti, come una scatola di pastelli completamente vuota dopo una giornata di disegno intenso. Subito dopo viene l'uno, poi il due, e ogni numero successivo si ottiene aggiungendo un'unità a quello precedente, generando una catena infinita.
La rappresentazione con le cifre arabe
Per scrivere i numeri naturali usiamo soltanto dieci simboli chiamati cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Combinando queste dieci cifre possiamo formare qualsiasi numero, anche enorme, perché ognuna assume un valore diverso a seconda della posizione che occupa nel numero. Questo sistema, ereditato dagli antichi matematici indiani e portato in Europa dagli arabi, si chiama sistema posizionale decimale e si basa sui raggruppamenti di dieci. Per esempio, nel numero 347 la cifra 3 vale trecento, la cifra 4 vale quaranta e la cifra 7 vale sette unità, perché ogni posizione vale dieci volte più di quella alla sua destra. Pensiamo al prezzo di una bicicletta scritto come 285 euro: il 2 indica due centinaia, l'8 indica otto decine e il 5 indica cinque unità di moneta. Senza questo sistema così efficiente, scrivere il numero degli abitanti di una città richiederebbe pagine intere di simboli diversi, come accadeva con i numeri romani.
I numeri romani: un sistema alternativo
Prima del sistema decimale, gli antichi romani usavano un sistema basato su sette lettere fondamentali che ancora oggi incontriamo in tante situazioni storiche e culturali. Le lettere principali sono I che vale 1, V che vale 5, X che vale 10, L che vale 50, C che vale 100, D che vale 500 e M che vale 1000. I numeri si costruiscono affiancando queste lettere e sommandone i valori, ma con una regola particolare: se una lettera di valore minore precede una di valore maggiore, allora va sottratta invece che sommata. Così IV vale 4 perché si toglie 1 da 5, mentre VI vale 6 perché si aggiunge 1 a 5. Possiamo osservare i numeri romani sui quadranti di certi orologi antichi nelle piazze, oppure sui capitoli dei libri scolastici e sulle targhe che indicano i secoli dei monumenti. Questo sistema è elegante ma poco pratico per fare calcoli, ed è proprio per questo che il sistema decimale lo ha quasi del tutto sostituito.
Confrontare e ordinare i numeri
I numeri naturali si possono mettere in fila uno dopo l'altro perché ciascuno ha un successore, cioè il numero che viene subito dopo, e un precedente, cioè quello che viene subito prima. Il successore di 17 è 18, mentre il precedente di 17 è 16, e lo zero è l'unico numero naturale che non ha un precedente perché segna l'inizio della catena. Per confrontare due numeri usiamo tre simboli chiave: il segno uguale =, il segno maggiore > e il segno minore <, che permettono di stabilire chi vince nella gara delle quantità. Quando scriviamo 24 < 31 stiamo dicendo che ventiquattro è più piccolo di trentuno, mentre con 89 > 67 affermiamo che ottantanove è più grande di sessantasette. Immaginiamo di confrontare i punti di due squadre alla fine di una partita di pallavolo: se una ha realizzato 25 punti e l'altra 21, scriviamo 25 > 21 e capiamo subito chi ha vinto. Ordinare una serie di numeri significa disporli dal più piccolo al più grande, in ordine crescente, oppure dal più grande al più piccolo, in ordine decrescente.
La retta dei numeri
Uno strumento utilissimo per visualizzare i numeri naturali è la retta dei numeri, una linea retta su cui segniamo un punto di partenza e tracciamo dei trattini a distanza sempre uguale. Sul primo trattino scriviamo lo zero, poi sui successivi mettiamo 1, 2, 3, 4 e così via, sempre verso destra, perché in questa direzione i numeri crescono. La retta dei numeri ci aiuta a capire visivamente che ogni numero ha una posizione precisa e che più ci spostiamo a destra, più la quantità rappresentata diventa grande. Se vogliamo confrontare 8 e 12, vediamo subito che 12 si trova più a destra di 8 sulla retta, quindi 12 è maggiore. La retta dei numeri assomiglia a un righello da disegno, dove ogni tacca corrisponde a un numero preciso, e funziona anche come una scala lungo la quale possiamo immaginare di muoverci a passi. Sulla retta possiamo anche rappresentare le operazioni: aggiungere significa fare passi verso destra, togliere significa fare passi verso sinistra.
Pari, dispari e altre proprietà
I numeri naturali si dividono in due grandi famiglie a seconda della loro parità: i numeri pari, che si possono dividere esattamente in due gruppi uguali, e i numeri dispari, che invece lasciano sempre un elemento spaiato. I numeri pari terminano con le cifre 0, 2, 4, 6 oppure 8, come 30, 142, 268, mentre i numeri dispari terminano con 1, 3, 5, 7 oppure 9, come 27, 153, 489. Pensiamo a venti caramelle da distribuire tra due amici: ciascuno ne riceve dieci e non ne avanzano, perché venti è pari. Se invece le caramelle fossero ventuno, alla fine ne resterebbe una sola in più, e qui appare la caratteristica dei numeri dispari. Una curiosità interessante è che alternando i numeri naturali troviamo sempre pari e dispari uno dopo l'altro: 1 dispari, 2 pari, 3 dispari, 4 pari, in una danza regolare che non si interrompe mai. Riconoscere se un numero è pari o dispari è una competenza utilissima, perché serve in tante situazioni pratiche come dividere squadre, organizzare turni o calcolare metà di una quantità.
Lo zero: un numero speciale
Lo zero è una conquista relativamente recente nella storia della matematica e ha un ruolo davvero particolare tra i numeri naturali, perché rappresenta l'assenza di quantità. Per molti secoli i popoli antichi non avevano un simbolo per indicare il nulla, e questo rendeva difficilissimo scrivere numeri come 105 o 2030, dove lo zero serve a indicare che in una certa posizione non ci sono unità di quel valore. Nel numero 405, per esempio, lo zero ci dice che non ci sono decine, e senza di esso il numero diventerebbe semplicemente 45, cambiando completamente il suo significato. Lo zero ha proprietà uniche nelle operazioni: se sommiamo zero a un qualsiasi numero, quel numero non cambia, perché 7 + 0 fa ancora 7. Anche nella vita quotidiana usiamo lo zero, per esempio quando guardiamo il contatore di una bottiglia d'acqua appena svuotata o quando segniamo zero gol per una squadra che non ha realizzato reti. Lo zero ci insegna che anche il nulla è importante e merita un suo simbolo preciso.
Ricorda
- I numeri naturali sono 0, 1, 2, 3, 4... e appartengono all'insieme N.
- Si scrivono con dieci cifre in un sistema posizionale decimale.
- I simboli <, >, = servono per confrontare due numeri.
- Ogni numero ha un successore e, tranne lo zero, un precedente.
- I numeri pari finiscono per 0, 2, 4, 6, 8; i dispari per 1, 3, 5, 7, 9.
- Lo zero indica l'assenza di quantità ma è importantissimo nella scrittura.
Piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: scrivi sul quaderno i numeri 56, 7, 102, 89, 14, 230 in ordine crescente; poi indica accanto a ciascuno se è pari o dispari, e infine traccia una retta dei numeri da 0 a 12 segnando con un cerchio rosso tutti i numeri pari che incontri.