La geometria nasce dall'osservazione della realtà e ne descrive le forme attraverso tre enti fondamentali: il punto, la linea e il piano, dai quali deriva tutto il resto.
Da dove nasce la geometria
La parola geometria deriva dal greco e significa letteralmente misura della terra, perché gli antichi Egizi la usavano per ritracciare i confini dei campi dopo le piene del Nilo. Da quelle esigenze pratiche è nata una scienza che oggi descrive con grande precisione tutto ciò che ha forma, posizione e dimensione nello spazio. Quando guardi una piastrella, lo schermo di un cellulare o un pallone, stai osservando oggetti che la geometria sa descrivere con regole chiare e universali. Per fare questo i matematici hanno scelto di partire da pochissimi concetti di base, talmente semplici da non poter essere spiegati con altri concetti più elementari. Questi concetti si chiamano enti geometrici fondamentali e sono soltanto tre: il punto, la linea e il piano. Tutto il resto della geometria, dai triangoli ai solidi che studierai nei prossimi anni, si costruisce combinando in modo intelligente questi tre mattoni iniziali.
Il punto: l'ente senza dimensioni
Il punto è il più piccolo degli enti geometrici e si dice che sia un ente privo di dimensioni, cioè non ha né lunghezza, né larghezza, né altezza. Quando lo disegniamo sul quaderno tracciamo un piccolo segno con la matita, ma quel segno è solo una rappresentazione: il punto vero è un'idea, un'entità ideale che indica esclusivamente una posizione nello spazio. Per distinguere i punti tra loro li indichiamo con le lettere maiuscole dell'alfabeto, scrivendo per esempio A, B, C oppure P, Q, R accanto al segno tracciato. Pensa a quando segni un appuntamento su una cartina della città con uno spillo: lo spillo serve a dire qui, esattamente in questo posto, senza occupare spazio attorno. Allo stesso modo, quando una stella appare nel cielo notturno come un piccolo bagliore lontanissimo, la percepisci come un punto perché ne riconosci la posizione ma non riesci a misurarne le dimensioni. Il punto, quindi, risponde sempre alla domanda dove? e mai alla domanda quanto è grande?.
La linea: l'ente con una sola dimensione
La linea è un ente geometrico che possiede una sola dimensione, la lunghezza, mentre non ha né larghezza né spessore: anche in questo caso il tratto che disegniamo è solo un modo per rappresentarla. Possiamo immaginare la linea come una successione infinita e ordinata di punti, uno accanto all'altro, tanto vicini da non lasciare alcuno spazio vuoto tra loro. Le linee possono assumere forme molto diverse: ci sono le linee rette, perfettamente dritte, e le linee curve, che cambiano continuamente direzione come la traiettoria di un'altalena in movimento. Se prendi un filo di lana e lo tendi tra le due mani ottieni qualcosa di molto simile a una linea retta, mentre se lo lasci ricadere morbidamente sul tavolo ottieni una linea curva. Anche il bordo di una moneta appoggiata sul foglio, ripassato con la matita, lascia il segno di una linea chiusa che si chiama circonferenza. Le linee si indicano di solito con le lettere minuscole dell'alfabeto come a, b, c oppure r, s, t per le rette.
Tipi di linee e loro caratteristiche
Classificare le linee aiuta a riconoscerle subito e a usare il linguaggio corretto della geometria. Una linea si dice retta quando mantiene sempre la stessa direzione, curva quando la cambia con continuità, e spezzata quando è formata da più tratti rettilinei uniti agli estremi. Una linea si dice inoltre aperta se ha due estremi liberi, come la traiettoria di una freccia scoccata, oppure chiusa se il punto di partenza coincide con quello di arrivo, come il contorno di una foglia. Esistono anche linee miste, formate da pezzi rettilinei alternati a pezzi curvi, come il profilo di un cucchiaio visto di lato. Pensa al disegno di una montagna stilizzata: il profilo delle vette è una linea spezzata, mentre il cerchio attorno al sole disegnato sopra è una linea curva chiusa. Riconoscere il tipo di linea è il primo passo per descrivere correttamente qualsiasi figura, perché ogni figura geometrica ha un contorno che appartiene a una di queste famiglie.
La retta, la semiretta e il segmento
Fra tutte le linee, la retta è la più importante perché è dritta e si estende all'infinito in entrambi i versi, senza inizio e senza fine. Per indicare che una retta non finisce mai, quando la disegniamo aggiungiamo due freccette ai suoi estremi, oppure prolunghiamo leggermente il tratto oltre i punti che la individuano. Se prendiamo una retta e la tagliamo in un punto, otteniamo due semirette: ciascuna ha un'origine, cioè un punto di inizio, ma continua all'infinito nell'altro verso, come un raggio di sole che parte da una lampada. Se invece scegliamo sulla retta due punti distinti A e B e teniamo solo la parte compresa fra di essi, otteniamo un segmento, che è un pezzo di retta limitato da due estremi e ha quindi una lunghezza misurabile in centimetri o metri. Un esempio quotidiano di segmento è lo spigolo di un libro, mentre il binario diritto del tram che immagini si prolunghi a perdita d'occhio è un'immagine della retta. La semiretta, invece, ricorda la traiettoria di una palla lanciata da un cannone: parte da un punto preciso e idealmente prosegue oltre l'orizzonte.
Il piano: l'ente con due dimensioni
Il piano è un ente geometrico dotato di due dimensioni, lunghezza e larghezza, ma privo di spessore, e si estende all'infinito in tutte le direzioni della sua superficie. Sul quaderno lo rappresentiamo solitamente con un parallelogramma, perché disegnarlo davvero per intero sarebbe impossibile, e lo indichiamo con una lettera greca minuscola come α (alfa), β (beta) oppure γ (gamma). Una pagina di quaderno, la superficie liscia di un tavolo o uno specchio appeso alla parete sono buoni esempi concreti di porzioni di piano, anche se in realtà sono limitati dai loro bordi mentre il piano matematico non lo è. Per capire la differenza, immagina di poter ingrandire all'infinito la superficie di un lago perfettamente calmo, senza onde e senza rive: otterresti qualcosa di molto vicino all'idea di piano. Sul piano vivono tutte le figure geometriche piane, come quadrati, triangoli e cerchi, che studierai nei prossimi capitoli con grande attenzione. Il piano è insomma il foglio infinito su cui la geometria piana costruisce tutte le sue figure.
Relazioni fra punti, rette e piani
Gli enti geometrici non vivono isolati ma si combinano fra loro secondo regole precise che chiamiamo postulati, cioè verità accettate senza dimostrazione. Per esempio, per un punto qualunque del piano passano infinite rette, mentre per due punti distinti passa una sola retta: prova a unire due chiodi piantati su una tavola con un filo teso e vedrai che esiste un solo modo di farlo in linea diritta. Tre punti, invece, si dicono allineati se appartengono tutti alla stessa retta, mentre si dicono non allineati se non è possibile farli stare contemporaneamente su un'unica retta. Due rette nel piano possono essere parallele, se non si incontrano mai per quanto le si prolunghi, oppure incidenti, se si incontrano in un solo punto, come i binari di uno scambio ferroviario. Un caso particolare di rette incidenti è quello delle rette perpendicolari, che si incontrano formando quattro angoli uguali, proprio come gli spigoli di una porta rispetto al pavimento. Conoscere queste relazioni è fondamentale perché tutta la geometria del triangolo, del quadrilatero e del cerchio si basa su di esse.
Ricorda
- Gli enti geometrici fondamentali sono tre: il punto (senza dimensioni), la linea (una dimensione) e il piano (due dimensioni).
- I punti si indicano con lettere maiuscole, le rette con lettere minuscole e i piani con lettere greche minuscole.
- Le linee possono essere rette, curve, spezzate o miste, e inoltre aperte oppure chiuse.
- La retta è infinita nei due versi, la semiretta ha un'origine e prosegue all'infinito da un solo lato, il segmento ha due estremi e una lunghezza misurabile.
- Per due punti distinti passa una e una sola retta; due rette nel piano possono essere parallele, incidenti o perpendicolari.
Piccolo esercizio di verifica: sul quaderno disegna un piano α rappresentato con un parallelogramma, segna al suo interno tre punti A, B, C non allineati e traccia la retta r passante per A e B, la semiretta di origine B passante per C e il segmento AC. Scrivi accanto al disegno una breve frase per ciascun ente, spiegando con parole tue cosa rappresenta e come si distingue dagli altri due.