Che cos'è una relazione
Una relazione è un legame che collega gli elementi di un insieme con quelli di un altro insieme secondo una regola precisa.
In matematica si parla di relazione ogni volta che si stabilisce un collegamento tra gli elementi di due insiemi, che chiamiamo insieme di partenza e insieme di arrivo. La regola che li unisce deve essere chiara e verificabile, perché senza una regola non possiamo decidere quali coppie appartengono alla relazione e quali no. Per indicare che un elemento a è in relazione con un elemento b scriviamo la coppia ordinata (a, b), dove l'ordine è fondamentale. Possiamo rappresentare una relazione in modi diversi: con un diagramma a frecce, con una tabella a doppia entrata oppure con un grafico cartesiano. Il diagramma a frecce è particolarmente intuitivo, perché ogni freccia parte da un elemento dell'insieme di partenza e punta a un elemento dell'insieme di arrivo. Scegliere la rappresentazione giusta aiuta a capire meglio il comportamento della relazione e a individuarne le proprietà.
Le proprietà delle relazioni
Quando una relazione collega gli elementi di un insieme con se stesso, possiamo studiare alcune sue proprietà importanti. La proprietà riflessiva è soddisfatta quando ogni elemento è in relazione con se stesso: ad esempio, nell'insieme dei numeri naturali la relazione "è uguale a" è riflessiva, perché ogni numero è uguale a se stesso. La proprietà simmetrica si verifica invece quando, se a è in relazione con b, allora anche b è in relazione con a: la relazione "è fratello di" tra persone gode di questa proprietà. La proprietà transitiva si manifesta quando, se a è in relazione con b e b è in relazione con c, allora anche a è in relazione con c: la relazione "è minore di" tra numeri è un esempio tipico. Una relazione che possiede tutte e tre queste proprietà è detta relazione di equivalenza e permette di raggruppare gli elementi in classi. Non tutte le relazioni godono di tutte le proprietà: è proprio il loro studio che ci permette di classificarle.
Ricorda
- Una relazione lega gli elementi di due insiemi attraverso una regola chiara e si esprime con coppie ordinate (a, b).
- Le tre proprietà fondamentali da verificare sono riflessiva, simmetrica e transitiva; insieme definiscono le relazioni di equivalenza.
- Esercizio: sul quaderno, considera l'insieme A = {2, 4, 6, 8} e la relazione "è il doppio di". Scrivi tutte le coppie ordinate che appartengono alla relazione, poi disegna il diagramma a frecce e indica se la relazione gode delle tre proprietà studiate.