La relazione

Sintesi: una relazione è un legame che collega gli elementi di un insieme con quelli di un altro insieme secondo una regola precisa e ripetibile.

Quando due elementi si parlano

Pensa a quante volte, ogni giorno, metti in collegamento due cose tra loro: dici che Marta è la sorella di Giulia, che otto è il doppio di quattro, che la matita appartiene al tuo astuccio. Ogni volta stai stabilendo un ponte invisibile che unisce due elementi seguendo una regola chiara e ripetibile. In matematica questo ponte si chiama relazione e diventa uno strumento potente per descrivere e organizzare la realtà. Studiare le relazioni significa imparare a riconoscere i legami nascosti tra numeri, figure, persone o oggetti, descrivendoli con un linguaggio rigoroso. Una volta scoperto il meccanismo, ti accorgerai che le relazioni sono dappertutto: nella classifica del campionato di calcio, nelle parentele della tua famiglia, nei prezzi del supermercato. La matematica, come vedi, non vive lontana da te ma nasce proprio dall'osservazione del mondo.

Che cos'è una relazione

Una relazione è una corrispondenza che collega alcuni elementi di un insieme A con alcuni elementi di un insieme B, seguendo una regola enunciata in modo chiaro. Per esprimere il legame usiamo frasi come "è multiplo di", "è più alto di", "ha lo stesso numero di lettere di": ognuna di queste frasi rappresenta la regola della relazione. Per esempio, se A = {2, 3, 6} e B = {4, 9, 12}, la relazione "è divisore di" collega 2 con 4 e 12, 3 con 9 e 12, e 6 con 12. Allo stesso modo possiamo immaginare l'insieme degli alunni di una classe e quello dei loro zaini: la relazione "possiede" associa ciascun alunno al proprio zaino. Quando un elemento a è collegato a un elemento b scriviamo a R b, che si legge "a è in relazione con b". La regola è il cuore della relazione, perché senza una regola precisa non sapremmo mai chi collegare con chi e tutto diventerebbe casuale.

L'insieme di partenza e l'insieme di arrivo

Ogni relazione ha sempre un insieme di partenza, dal quale prendiamo l'elemento di sinistra, e un insieme di arrivo, dove si trova l'elemento di destra. L'insieme di partenza è chiamato dominio e quello di arrivo codominio: funzionano come la stazione di partenza e quella di arrivo di un treno che corre sui binari della regola. Per esempio, se consideriamo l'insieme dei mesi dell'anno e quello dei numeri naturali, la relazione "ha come durata" parte dai mesi e arriva ai numeri, perché ad aprile corrisponde 30 e a febbraio corrisponde 28 oppure 29. Un altro esempio quotidiano riguarda l'insieme degli studenti di una classe e l'insieme delle materie scolastiche, legati dalla relazione "studia": ogni studente è collegato a più materie diverse. Distinguere bene partenza e arrivo è fondamentale, perché invertirli cambia completamente il significato della relazione. Le frasi "è figlio di" e "è genitore di", per esempio, usano gli stessi insiemi ma descrivono legami opposti.

I modi per rappresentare una relazione

Una relazione può essere rappresentata in quattro modi differenti, ognuno dei quali mette in luce un aspetto particolare del legame. I principali sono questi:

il diagramma a frecce, in cui gli insiemi sono disegnati con i diagrammi di Venn e le frecce vanno dall'elemento di partenza a quello di arrivo;
la tabella a doppia entrata, dove sulle righe poniamo gli elementi di A, sulle colonne quelli di B e segniamo con una crocetta le coppie collegate;
il grafico cartesiano, in cui ogni coppia diventa un punto sul piano cartesiano;
l'elenco delle coppie ordinate, scritte tra parentesi tonde come (a, b), che raccoglie tutti i collegamenti in un unico insieme. Immagina la relazione "è alto come" tra gli alunni di un gruppo sportivo: con un diagramma a frecce vedrai subito chi è collegato a chi, mentre con la tabella a doppia entrata noterai facilmente le ripetizioni. Allo stesso modo, se descrivi la relazione "è triplo di" tra i numeri di un piccolo insieme, l'elenco delle coppie ordinate è il modo più compatto per riassumere ogni legame.

Le proprietà delle relazioni in un insieme

Quando una relazione è definita all'interno di un solo insieme, può possedere alcune proprietà che ci aiutano a classificarla. Le proprietà più importanti sono quattro:

proprietà riflessiva: ogni elemento è in relazione con se stesso, cioè vale sempre a R a;
proprietà simmetrica: se a R b allora vale anche b R a, e il legame funziona nei due sensi;
proprietà transitiva: se a R b e b R c allora vale anche a R c, come in una catena che si trasmette;
proprietà antisimmetrica: se a R b e b R a, allora obbligatoriamente a = b, perché il doppio legame esiste solo tra un elemento e se stesso. Per capire meglio, considera la relazione "è coetaneo di" nell'insieme dei tuoi compagni: è riflessiva (ognuno ha la stessa età di se stesso), è simmetrica (se Anna è coetanea di Luca, allora Luca è coetaneo di Anna) ed è transitiva (se Anna è coetanea di Luca e Luca di Sara, allora Anna è coetanea di Sara). Diverso è il caso di "è più alto di": non è riflessiva, perché nessuno è più alto di se stesso, e non è simmetrica, perché se Pietro è più alto di Marco non può accadere il contrario.

Le relazioni di equivalenza

Una relazione che possiede contemporaneamente le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva prende il nome di relazione di equivalenza. Le relazioni di equivalenza sono preziose perché permettono di raggruppare gli elementi in classi, cioè in gruppi di oggetti che si comportano tutti allo stesso modo rispetto al legame considerato. Per esempio, nell'insieme di tutte le frazioni la relazione "rappresenta lo stesso numero di" è di equivalenza: 1/2, 2/4 e 3/6 finiscono nella stessa classe perché indicano la medesima quantità. Un altro esempio vicino alla quotidianità è la relazione "abita nella stessa città di" nell'insieme degli abitanti di un Paese: ciascuno abita nella propria città, il legame vale in entrambi i sensi e si trasmette anche fra più persone insieme. Grazie all'equivalenza la matematica costruisce categorie ordinate e mette ordine in ciò che a prima vista sembrerebbe confuso. Senza questo strumento non potremmo nemmeno semplificare una frazione o classificare le figure geometriche per forma.

Le relazioni d'ordine

Quando invece una relazione è riflessiva, antisimmetrica e transitiva parliamo di relazione d'ordine, perché serve a mettere in fila gli elementi di un insieme. Il caso più famoso è la relazione "≤" (minore o uguale) tra i numeri: ogni numero è minore o uguale a se stesso, se a ≤ b e b ≤ a allora necessariamente a = b, e se a ≤ b e b ≤ c allora vale anche a ≤ c. Un esempio non numerico è la relazione "è antenato di" nell'insieme degli avi di una famiglia, oppure la relazione "è contenuto in" tra gli insiemi di una collezione: entrambe permettono di stabilire chi viene prima e chi dopo. Le relazioni d'ordine sono indispensabili quando dobbiamo costruire classifiche, ordini di marcia, sequenze cronologiche o gerarchie di importanza. Senza un ordine, la matematica e la vita stessa sarebbero molto confuse, perché non potremmo dire chi è arrivato primo né quale numero è maggiore dell'altro. Anche le pagine del tuo libro seguono una relazione d'ordine: 1 precede 2, 2 precede 3, e così via.

Dalla relazione alla funzione

Tra tutte le relazioni esistono alcune particolarmente interessanti che si chiamano funzioni: in una funzione ogni elemento dell'insieme di partenza è collegato a uno e un solo elemento dell'insieme di arrivo. Pensa alla relazione che a ogni studente di una classe associa la sua data di nascita: a ciascuno corrisponde una sola data, quindi siamo di fronte a una funzione. Diverso è il caso della relazione "ha letto" tra gli studenti e i libri della biblioteca, perché uno studente può aver letto più libri e così la relazione non è una funzione. Per riconoscere subito una funzione basta guardare il diagramma a frecce: da ogni elemento di partenza deve uscire esattamente una freccia, né più né meno. Questo concetto è il ponte verso una parte importantissima della matematica, perché le funzioni descrivono leggi fisiche, formule, grafici e perfino il funzionamento delle calcolatrici tascabili. Nelle prossime lezioni scoprirai infatti come le funzioni si rappresentino sul piano cartesiano con linee e curve eleganti.

Ricorda

Una relazione collega gli elementi di un insieme di partenza con quelli di un insieme di arrivo seguendo una regola precisa.
Una relazione si può rappresentare con diagrammi a frecce, tabelle a doppia entrata, grafici cartesiani o elenchi di coppie ordinate.
Le proprietà più importanti delle relazioni in un insieme sono riflessiva, simmetrica, transitiva e antisimmetrica.
Una relazione di equivalenza è riflessiva, simmetrica e transitiva; una relazione d'ordine è riflessiva, antisimmetrica e transitiva.
Una funzione è una particolare relazione in cui ogni elemento di partenza è collegato a uno e un solo elemento di arrivo.

Piccolo esercizio di verifica: sul quaderno disegna i due insiemi A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8}; rappresenta con un diagramma a frecce la relazione "è la metà di", scrivi poi l'elenco di tutte le coppie ordinate ottenute e spiega con parole tue perché in questo caso si tratta di una funzione.