Problemi con la percentuale

Una scoperta che vediamo ogni giorno

Quando entri in un negozio e leggi il cartello che annuncia uno sconto del 30%, oppure quando senti dire al telegiornale che le piogge sono aumentate del 15%, stai incontrando le percentuali. Le percentuali sono uno strumento matematico molto potente perché permettono di confrontare situazioni diverse usando sempre lo stesso punto di riferimento, cioè il numero cento. Immagina di voler confrontare due classi: nella prima ci sono 8 bambini con gli occhiali su 20 alunni, nella seconda 6 su 15. Senza le percentuali è difficile capire dove ce ne siano di più in proporzione, ma trasformando i dati in 40% e 40% scopri subito che la situazione è identica. In questa lezione imparerai a calcolare la percentuale di un numero, a risolvere problemi di sconto, di aumento e di guadagno, e capirai che dietro a una formula apparentemente complicata si nasconde un ragionamento semplice e quotidiano.

Che cos'è davvero una percentuale

La parola percentuale deriva dal latino "per centum" e significa letteralmente "ogni cento". Quando scriviamo 25% intendiamo dire 25 ogni 100, cioè una frazione con denominatore sempre uguale a cento. Per questo motivo ogni percentuale può essere scritta come frazione: il 40% diventa 40/100, il 75% diventa 75/100, il 9% diventa 9/100. Pensa a una pizza divisa in cento fettine sottilissime: se ne mangi venticinque hai mangiato il 25% della pizza, cioè un quarto. Allo stesso modo, se in una scuola di 100 alunni ben 60 vanno a piedi, possiamo dire che il 60% degli alunni raggiunge la scuola camminando. Capire che dietro al simbolo % c'è sempre una divisione per cento è la chiave per affrontare qualsiasi problema senza paura.

Le percentuali più importanti da ricordare

Alcune percentuali tornano così spesso nei problemi e nella vita quotidiana che conviene memorizzarle insieme alle loro frazioni equivalenti. Il 50% corrisponde a 50/100, che semplificato diventa 1/2, cioè la metà esatta di qualcosa: se una bottiglia da un litro è piena al 50% contiene mezzo litro di acqua. Il 25% equivale a 25/100, ossia 1/4, e rappresenta un quarto della quantità totale: di una torta tagliata in quattro fette uguali, una sola fetta è il 25%. Il 75% vale 75/100, cioè 3/4, e corrisponde a tre quarti: se hai letto il 75% di un libro di 200 pagine, ne hai lette 150. Il 10% è 10/100 ovvero 1/10, dunque un decimo della quantità: il 10% di 80 caramelle sono 8 caramelle. Infine il 100% rappresenta l'intero, cioè tutto: se una squadra ha vinto il 100% delle partite, le ha vinte tutte senza eccezioni.

Come calcolare la percentuale di un numero

Per trovare la percentuale di un numero esiste una procedura sicura che funziona sempre, anche quando i numeri sembrano difficili. Devi moltiplicare il numero di partenza per la percentuale richiesta e poi dividere il risultato per cento, perché ricordi che ogni percentuale è una frazione con denominatore cento. Vediamo un esempio: vogliamo calcolare il 20% di 350 euro che la mamma ha messo da parte per le vacanze.

1. Scrivi la moltiplicazione: 350 × 20.
2. Esegui il calcolo e ottieni 7000.
3. Dividi 7000 per 100 e ottieni 70.

Il 20% di 350 euro è quindi 70 euro. Proviamo un secondo esempio molto vicino alla vita scolastica: in una biblioteca ci sono 250 libri e il 30% sono di avventura, quanti sono i libri di avventura? Moltiplichi 250 per 30 ottenendo 7500, poi dividi per 100 e ottieni 75 libri. Quando la percentuale è una di quelle famose, puoi usare anche la scorciatoia della frazione: per trovare il 50% basta dividere per due, per il 25% basta dividere per quattro, per il 10% basta dividere per dieci. Sono trucchetti utilissimi che velocizzano i calcoli a mente.

Lo sconto: quando il prezzo diminuisce

Lo sconto è una delle applicazioni più frequenti delle percentuali e lo incontri ogni volta che entri in un negozio durante i saldi. Lo sconto rappresenta la somma di denaro che il negoziante toglie dal prezzo originale, ed è espresso quasi sempre in percentuale. Per risolvere un problema di sconto devi seguire due passaggi precisi: prima calcoli quanto vale lo sconto in euro, poi lo sottrai dal prezzo iniziale per trovare il prezzo finale che pagherai alla cassa. Immagina una bicicletta che costa 240 euro e ha uno sconto del 15%.

1. Calcola il 15% di 240: moltiplichi 240 × 15 = 3600, poi dividi per 100 e ottieni 36 euro di sconto.
2. Sottrai lo sconto dal prezzo originale: 240 − 36 = 204 euro.

Il prezzo scontato della bicicletta è quindi 204 euro, e proprio quella cifra sarà scritta sul nuovo cartellino. Facciamo un altro esempio: un astuccio costa 18 euro ma viene venduto con il 50% di sconto, cioè a metà prezzo. Calcoli subito che 18 diviso 2 fa 9 euro, quindi pagherai solamente 9 euro per portarti a casa l'astuccio nuovo.

L'aumento: quando il prezzo cresce

Non sempre le percentuali servono a togliere qualcosa: a volte servono ad aggiungere. Pensa a quando il prezzo del pane sale, oppure quando un negoziante decide di alzare il costo dei suoi prodotti perché le materie prime sono diventate più care. In questi casi parliamo di aumento percentuale e il procedimento è identico a quello dello sconto, ma alla fine invece di sottrarre devi addizionare. Supponiamo che una pianta in vivaio costasse 50 euro e il prezzo sia aumentato del 12%.

1. Calcola il 12% di 50: moltiplichi 50 × 12 = 600, poi dividi per 100 e ottieni 6 euro di aumento.
2. Somma l'aumento al prezzo iniziale: 50 + 6 = 56 euro.

La pianta oggi costa quindi 56 euro. Un altro caso interessante riguarda la popolazione di un piccolo paese: se in un anno gli abitanti erano 800 e sono cresciuti del 5%, quanti abitanti ci sono ora? Calcoli il 5% di 800, cioè 800 × 5 = 4000 diviso 100 uguale 40 nuovi abitanti, e li sommi agli 800 di partenza ottenendo 840 abitanti. Distinguere bene quando aggiungere e quando togliere è fondamentale per non sbagliare la risposta finale.

Problemi con dati e tabelle

Molte volte le percentuali compaiono in indagini, sondaggi e statistiche che leggiamo sui giornali o vediamo nelle pubblicità. Sapere leggere correttamente questi dati è una competenza importante anche per la vita di tutti i giorni e non solo per la matematica. Immagina che la maestra abbia svolto un sondaggio nella tua classe di 25 alunni chiedendo qual è la materia preferita: il 40% ha risposto matematica, il 32% italiano e il resto educazione fisica. Per sapere quanti bambini hanno scelto matematica calcoli il 40% di 25, cioè 25 × 40 = 1000 diviso 100 uguale 10 alunni. Per italiano invece calcoli 25 × 32 = 800 diviso 100 uguale 8 alunni, mentre quelli che hanno scelto educazione fisica sono 25 − 10 − 8 = 7 alunni, che corrispondono al 28% della classe. In problemi come questo è utile controllare sempre che la somma delle percentuali faccia 100% e che la somma dei bambini coincida con il totale della classe.

Curiosità sulle percentuali nel mondo reale

Le percentuali sono usate in moltissimi ambiti della vita di tutti i giorni, anche dove non ci aspetteremmo di trovarle. Sulle etichette degli alimenti, per esempio, trovi scritto che un succo di frutta contiene il 30% di vera frutta oppure che una merendina ha il 20% di zuccheri sul totale. Nella moda, i tessuti sono descritti con percentuali come 80% cotone e 20% poliestere, che indicano la composizione esatta del filato usato per produrli. Persino nello sport le percentuali servono a confrontare i risultati: un cestista può avere il 75% di tiri liberi realizzati, cioè su quattro tiri ne segna mediamente tre. Conoscere bene le percentuali ti aiuterà a capire meglio queste informazioni e a non lasciarti ingannare da numeri che sembrano grandi ma in realtà sono piccoli, o viceversa.

Ricorda

Le percentuali sono frazioni con denominatore 100 che permettono di confrontare quantità diverse e di calcolare sconti, aumenti e parti di un totale.

Ecco i punti più importanti che devi tenere a mente quando affronti un problema con le percentuali.

• Il simbolo % significa "diviso cento", quindi 35% equivale alla frazione 35/100.
• Le percentuali più comuni hanno frazioni amiche: 50% = 1/2, 25% = 1/4, 75% = 3/4, 10% = 1/10, 100% = tutto.
• Per calcolare la percentuale di un numero moltiplichi il numero per la percentuale e dividi per 100.
• Nello sconto si sottrae il valore calcolato dal prezzo iniziale, mentre nell'aumento lo si somma.
• Controlla sempre che il risultato sia ragionevole: uno sconto non può rendere il prezzo finale maggiore di quello iniziale.

Ora prova tu sul quaderno: in una pasticceria ci sono 120 dolci esposti in vetrina. Il 25% sono cornetti, il 30% sono paste alla crema e il 10% sono biscotti, mentre i restanti sono cioccolatini. Calcola quanti dolci ci sono di ogni tipo, quanti sono i cioccolatini, e verifica che la somma di tutti i dolci sia proprio 120. Scrivi accanto a ogni risultato anche la percentuale corrispondente, ricordando che il totale deve essere 100%.