Le frazioni equivalenti sono frazioni scritte in modo diverso ma che rappresentano la stessa quantità: cambiano i numeri, ma la parte di intero indicata resta identica.
Quando dividiamo una torta in quattro fette uguali e ne prendiamo due, oppure quando la dividiamo in otto fette uguali e ne prendiamo quattro, stiamo mangiando esattamente la stessa porzione di dolce. Le frazioni 2/4 e 4/8 sono diverse nella scrittura, ma indicano la stessa quantità di torta. Questo è il cuore dell'idea di frazione equivalente: due frazioni che, pur avendo numeratori e denominatori differenti, esprimono lo stesso valore. Imparare a riconoscerle e a costruirle è importante perché ci permette di confrontare frazioni, di sommarle e di semplificare i calcoli. In questa lezione scopriremo le due regole fondamentali per ottenere frazioni equivalenti e impareremo a riconoscerle con sicurezza.
Come si costruiscono le frazioni equivalenti
Per ottenere una frazione equivalente a quella di partenza dobbiamo applicare una regola molto precisa, che si chiama proprietà invariantiva della frazione. Questa regola dice che, se moltiplichiamo o dividiamo sia il numeratore sia il denominatore per uno stesso numero diverso da zero, otteniamo una frazione che ha lo stesso valore di quella iniziale. È fondamentale che l'operazione venga fatta su entrambi i numeri della frazione: se modifichiamo solo il numeratore o solo il denominatore, otteniamo una frazione di valore diverso. Quando moltiplichiamo per uno stesso numero, parliamo di amplificazione della frazione, perché numeratore e denominatore diventano numeri più grandi. Quando dividiamo per uno stesso numero, parliamo invece di semplificazione, perché otteniamo numeri più piccoli e una scrittura più comoda. Per esempio, partiamo dalla frazione 3/5 e moltiplichiamo numeratore e denominatore per 4: otteniamo 12/20, che è equivalente a 3/5 perché rappresenta la stessa porzione di intero.
Come si riconoscono due frazioni equivalenti
Davanti a due frazioni già scritte, possiamo capire se sono equivalenti senza disegnarle, usando un piccolo trucco chiamato prodotto in croce. Si moltiplica il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda, poi il denominatore della prima per il numeratore della seconda: se i due risultati sono uguali, le frazioni sono equivalenti. Un altro modo molto utile è ridurre entrambe le frazioni ai minimi termini, cioè semplificarle finché numeratore e denominatore non hanno più divisori in comune oltre a 1. Se la forma ridotta delle due frazioni coincide, allora le frazioni di partenza sono certamente equivalenti tra loro. Questo metodo è molto pratico quando i numeri sono grandi e fare il prodotto in croce richiederebbe calcoli lunghi e noiosi. Imparare a passare con disinvoltura dalla forma amplificata a quella ridotta ci rende davvero padroni delle frazioni.
Ricorda
- Due frazioni sono equivalenti quando indicano la stessa parte di intero, anche se hanno numeratore e denominatore diversi.
- Per costruire una frazione equivalente, moltiplica o dividi sia il numeratore sia il denominatore per lo stesso numero, diverso da zero.
- Per verificare se due frazioni sono equivalenti, usa il prodotto in croce oppure riducile entrambe ai minimi termini.
- Piccolo esercizio sul quaderno: scrivi la frazione 2/3 e costruisci tre sue frazioni equivalenti moltiplicando per 2, per 3 e per 5; poi verifica con il prodotto in croce che 6/9 sia davvero equivalente a 2/3.