Le frazioni servono a dare un nome alle parti di un intero quando lo dividiamo in pezzi uguali. In questa lezione scoprirai come si scrivono, come si leggono e come ci aiutano nella vita di tutti i giorni.
Che cos'è un intero
Quando parliamo di intero in matematica intendiamo un oggetto, una figura o una quantità considerati nella loro totalità, prima di essere divisi. L'intero può avere forme molto diverse fra loro: può essere una pizza tonda appoggiata sul tavolo, una tavoletta di cioccolato rettangolare, un litro di succo dentro una bottiglia. Anche un gruppo di oggetti può funzionare come intero, ad esempio una scatola che contiene dodici matite colorate appena comprate. Per poter parlare di frazioni dobbiamo sempre sapere con chiarezza qual è l'intero a cui ci stiamo riferendo, altrimenti rischiamo di confonderci. Se diciamo "metà" senza specificare metà di cosa, la parola perde il suo significato preciso e diventa difficile fare confronti corretti.
La regola fondamentale: parti uguali
Una frazione esiste solo se l'intero viene diviso in parti perfettamente uguali fra loro. Questa è la regola più importante di tutto il discorso sulle frazioni e dobbiamo tenerla sempre presente quando lavoriamo. Immagina una focaccia che la mamma taglia a occhio: un pezzo viene grande, un altro piccolino, un terzo medio. In una situazione del genere non possiamo dire che ogni pezzo è un terzo della focaccia, perché i pezzi non sono identici per dimensione. Pensa invece a una tavoletta di cioccolato già segnata con i suoi quadretti tutti uguali: lì sì che possiamo parlare di frazioni in modo corretto. La parola "uguali" si riferisce alla grandezza dei pezzi, non al loro colore o alla loro forma esterna, e questo dettaglio è essenziale per capire bene.
Come si scrive e si legge una frazione
Una frazione si scrive con due numeri separati da una piccola linea orizzontale, chiamata linea di frazione. Il numero scritto sotto la linea si chiama denominatore e ci dice in quante parti uguali abbiamo diviso l'intero di partenza. Il numero scritto sopra la linea si chiama numeratore e ci dice quante di quelle parti stiamo prendendo o considerando in quel momento. Per esempio, nella frazione 3/4 il denominatore è 4, quindi l'intero è diviso in quattro parti uguali, mentre il numeratore è 3 e indica che ne stiamo considerando tre. Le frazioni si leggono usando i numeri ordinali per il denominatore: 1/2 si legge "un mezzo", 1/3 si legge "un terzo", 2/5 si legge "due quinti". Solo il denominatore 2 fa eccezione, perché non si dice "un secondo" ma proprio "un mezzo", e questo lo impariamo a memoria fin dall'inizio.
L'unità frazionaria
Quando il numeratore di una frazione è uguale a 1, quella frazione prende il nome speciale di unità frazionaria. L'unità frazionaria rappresenta una sola delle parti uguali in cui abbiamo diviso l'intero, ed è come il mattoncino di base che ci serve per costruire frazioni più grandi. Per esempio, 1/8 è l'unità frazionaria che otteniamo quando dividiamo una torta in otto fette uguali e ne consideriamo soltanto una. Se poi prendiamo tre di queste fettine, otteniamo la frazione 3/8, che è formata proprio da tre unità frazionarie messe insieme. Anche una bottiglia da un litro divisa in cinque bicchieri uguali ci dà come unità frazionaria 1/5 di litro per ciascun bicchiere. Capire questo concetto ci aiuta moltissimo a immaginare le frazioni come tante piccole quantità che si sommano per formare le quantità più grandi.
Frazioni che ricostruiscono l'intero
Se il numeratore e il denominatore di una frazione sono uguali fra loro, la frazione rappresenta esattamente l'intero completo. Pensa a una mela tagliata in quattro spicchi uguali: se prendiamo tutti e quattro gli spicchi, la frazione che otteniamo è 4/4, e questa scrittura corrisponde alla mela intera ricomposta. Allo stesso modo, 6/6 di una pizza corrispondono alla pizza intera, e 10/10 di una corda lunga un metro corrispondono al metro intero senza nulla in più e nulla in meno. Questo accade perché stiamo prendendo tutte le parti in cui abbiamo diviso l'oggetto di partenza. È un'osservazione molto utile anche per controllare i nostri ragionamenti: ogni volta che sommiamo tutte le parti di una divisione torniamo sempre all'intero da cui eravamo partiti. Le frazioni con numeratore minore del denominatore, invece, rappresentano una quantità più piccola dell'intero, e si chiamano frazioni proprie.
Le frazioni nella vita di ogni giorno
Le frazioni non vivono solo dentro il quaderno di matematica, ma si trovano ovunque attorno a noi. Quando la nonna ci dice di portare mezzo chilo di pane dal fornaio, sta usando la frazione 1/2 per indicare la quantità che vuole. Quando guardiamo l'orologio e diciamo che mancano un quarto d'ora alle quattro, stiamo usando la frazione 1/4 di un'ora, cioè quindici minuti dei sessanta totali. Anche quando dividiamo una merendina con un amico a metà, oppure quando in palestra l'allenatore divide i ventiquattro bambini in tre squadre uguali, stiamo lavorando con frazioni senza accorgercene. Riconoscere le frazioni nelle situazioni reali ci aiuta a non considerarle un argomento difficile o astratto, ma uno strumento pratico e familiare. Più ci alleniamo a vederle nel mondo, più diventa naturale calcolarle e usarle con sicurezza.
Confrontare una frazione con l'intero
Per capire quanto vale davvero una frazione conviene immaginarla disegnata su un cerchio o su un rettangolo diviso correttamente in parti uguali. Se prendiamo un rettangolo e lo dividiamo in cinque strisce identiche, possiamo colorarne due e vedere subito che 2/5 corrispondono a meno della metà del rettangolo. Se invece ne coloriamo quattro su cinque, ci accorgiamo che 4/5 sono molto vicini all'intero, perché manca soltanto una striscia per completarlo. Questa rappresentazione disegnata si chiama modello grafico ed è un alleato prezioso quando le frazioni iniziano a sembrare astratte. Anche con gli oggetti veri funziona benissimo: prova a piegare un foglio rettangolare in quattro parti uguali e potrai toccare con mano cosa significa 3/4. Più ti eserciti con i disegni e con gli oggetti, più la tua mente costruirà immagini chiare e precise dei numeri frazionari.
Ricorda
- L'intero è l'oggetto o la quantità di partenza, considerato per intero prima di essere diviso.
- Una frazione esiste solo se le parti in cui dividiamo l'intero sono perfettamente uguali fra loro.
- Il numero sopra la linea è il numeratore, quello sotto è il denominatore.
- L'unità frazionaria ha sempre il numeratore uguale a 1 e rappresenta una sola parte uguale.
- Quando numeratore e denominatore sono uguali, la frazione corrisponde all'intero ricostruito.
Piccolo esercizio di verifica: sul quaderno disegna un rettangolo lungo e dividilo in otto parti uguali con righe verticali, poi colora cinque parti di rosso e scrivi accanto la frazione corrispondente alla zona colorata e quella corrispondente alla zona ancora bianca; infine spiega con una frase perché, sommando queste due frazioni, ottieni l'intero rettangolo di partenza.