Lo studio di funzione è il percorso ordinato che permette di tracciare il grafico di una funzione reale di variabile reale partendo dalla sua espressione analitica e usando gli strumenti dell'analisi.
Studiare una funzione significa raccogliere informazioni che, messe insieme, restituiscono un disegno fedele del suo andamento. Si parte dalle proprietà che dipendono dalla sola formula, come il dominio o le simmetrie, e si arriva a quelle che richiedono i limiti e le derivate. Ogni passaggio ha un ruolo preciso e nessuno è davvero superfluo, perché un'informazione mancante può nascondere un comportamento decisivo. Il risultato finale è il grafico probabile, cioè una rappresentazione coerente con tutte le caratteristiche analizzate. In quinta liceo questo percorso costituisce la sintesi naturale di tutta l'analisi studiata durante l'anno.
I passi preliminari: dominio, segno e limiti
Il primo passo consiste nel determinare il dominio, cioè l'insieme dei valori reali per cui l'espressione ha senso. Bisogna escludere ciò che annulla un denominatore, ciò che rende negativo l'argomento di una radice di indice pari e ciò che rende non positivo l'argomento di un logaritmo. Subito dopo conviene controllare le simmetrie, perché una funzione pari o dispari richiede metà del lavoro, dato che il grafico si rispecchia rispetto all'asse delle ordinate o rispetto all'origine. Lo studio del segno e delle intersezioni con gli assi indica in quali regioni del piano la curva si trova e dove attraversa gli assi cartesiani.
Il passo successivo è il calcolo dei limiti agli estremi del dominio, cioè verso i punti esclusi e verso più o meno infinito quando il dominio è illimitato. Questi limiti rivelano l'esistenza di asintoti orizzontali, verticali o obliqui, che funzionano come binari invisibili lungo i quali la curva si appoggia. Per un asintoto obliquo di equazione y=mx+q si calcola prima il coefficiente angolare come limite del rapporto tra la funzione e la variabile, poi il termine noto come limite della differenza. Un esempio concreto è la funzione razionale con espressione f(x)=(x^2+1)/x, che ha dominio reale privato dello zero, è dispari, presenta un asintoto verticale in x=0 e un asintoto obliquo di equazione y=x.
Lo studio con le derivate e la sintesi grafica
La derivata prima governa la monotonia e individua i punti stazionari, cioè quelli in cui essa si annulla. Dove la derivata prima è positiva la funzione cresce, dove è negativa decresce, e nei punti in cui cambia segno si trovano massimi o minimi relativi. La derivata seconda descrive invece la concavità: positiva indica concavità verso l'alto, negativa concavità verso il basso, e gli zeri in cui cambia segno sono i punti di flesso. Riprendendo l'esempio precedente, per f(x)=(x^2+1)/x la derivata prima vale (x^2-1)/x^2 e si annulla in x=±1: in x=-1 si trova un massimo relativo con valore -2, in x=1 un minimo relativo con valore 2.
La sintesi grafica raccoglie tutte le informazioni e le traduce in un disegno. Conviene seguire un ordine preciso per non dimenticare nessun aspetto e per evitare contraddizioni nel grafico finale. Lo schema operativo è il seguente:
- Determinare il dominio e individuare eventuali simmetrie e periodicità.
- Trovare le intersezioni con gli assi e studiare il segno della funzione.
- Calcolare i limiti agli estremi del dominio e determinare gli asintoti.
- Calcolare la derivata prima, studiarne il segno e classificare i punti stazionari.
- Calcolare la derivata seconda, studiarne il segno e individuare i punti di flesso.
- Riportare in un piano cartesiano tutte le informazioni e tracciare il grafico probabile.
Ricorda
- Il dominio e i limiti dipendono solo dalla formula e dal comportamento all'infinito, mentre monotonia e concavità dipendono dalle derivate prima e seconda.
- Un asintoto orizzontale e uno obliquo non possono coesistere dallo stesso lato, perché descrivono due comportamenti diversi della stessa funzione all'infinito.
- Esercizio attivo sul quaderno: studia la funzione f(x)=(x-2)/(x+1) determinandone dominio, intersezioni con gli assi, segno, asintoti, derivata prima e tracciandone il grafico probabile.