La continuità è la proprietà che descrive le funzioni il cui grafico si traccia senza mai staccare la penna dal foglio, senza salti né buchi improvvisi.
Nel programma di analisi del quinto anno la continuità rappresenta il ponte naturale tra lo studio dei limiti e quello delle derivate. Una funzione continua si comporta in modo prevedibile: piccole variazioni della variabile indipendente producono piccole variazioni dei valori della funzione. Capire la continuità significa saper riconoscere quando un grafico procede in modo regolare e quando invece presenta interruzioni, e questa competenza è fondamentale per affrontare correttamente lo studio di funzione e i teoremi successivi.
Definizione e condizioni di continuità in un punto
Una funzione si dice continua nel punto x₀ del suo dominio quando il limite per x che tende a x₀ esiste finito e coincide esattamente con il valore che la funzione assume in quel punto. In simboli scriviamo lim(x→x₀) f(x) = f(x₀), e questa uguaglianza racchiude in sé tre richieste distinte che devono essere verificate tutte. Devono esistere il valore f(x₀), il limite finito di f per x che tende a x₀, e infine i due numeri devono essere uguali fra loro. Se anche una sola di queste tre condizioni viene meno, la funzione non è continua in x₀ e diciamo che presenta una discontinuità. Una funzione è poi continua su un intervallo quando risulta continua in ciascuno dei punti dell'intervallo considerato. Le funzioni elementari come polinomi, esponenziali, seno e coseno sono continue su tutto il loro dominio naturale, mentre funzioni razionali, logaritmi e tangente lo sono solo dove sono definite.
Consideriamo per chiarezza la funzione f(x) = (x² − 4)/(x − 2) studiata nel punto x₀ = 2. Qui la funzione non è definita perché il denominatore si annulla, quindi manca già la prima condizione e non possiamo parlare di continuità in quel punto, pur potendo calcolare il limite che vale 4.
Classificazione delle discontinuità
Quando la continuità viene a mancare, il tipo di discontinuità che si presenta dipende dal comportamento dei limiti destro e sinistro nel punto critico. Parliamo di discontinuità di prima specie, o discontinuità a salto, quando entrambi i limiti laterali esistono finiti ma sono diversi tra loro, e la differenza tra i due valori si chiama proprio salto della funzione. Si ha invece una discontinuità di seconda specie quando almeno uno dei due limiti laterali è infinito oppure non esiste, come accade per esempio in corrispondenza degli asintoti verticali delle funzioni razionali. Infine si parla di discontinuità di terza specie, detta anche eliminabile, quando il limite per x che tende a x₀ esiste finito ma non coincide con f(x₀) oppure la funzione non è definita in quel punto. In quest'ultimo caso possiamo prolungare la funzione assegnandole come valore proprio il limite, rendendola così continua e giustificando il nome eliminabile. Saper riconoscere il tipo di discontinuità è una competenza essenziale perché permette di interpretare correttamente il grafico e di scegliere le tecniche appropriate per lo studio della funzione.
Ricorda
- Una funzione è continua in x₀ se esistono f(x₀) e il limite, e se questi due valori coincidono.
- Le discontinuità si classificano in tre specie: salto finito (prima), limite infinito o inesistente (seconda), eliminabile (terza).
- Le funzioni elementari sono continue nel loro dominio: i problemi nascono dove il dominio si restringe o dove la funzione è definita a tratti.
Piccolo esercizio sul quaderno: data la funzione g(x) = (sin x)/x prolungata ponendo g(0) = 1, verifica che diventa continua in x = 0 calcolando il limite notevole; poi spiega in due righe a quale tipo di discontinuità avresti avuto a che fare senza il prolungamento.