La continuità di una funzione

Una penna che non si stacca dal foglio

La continuità è la proprietà che ci dice se una funzione si comporta in modo prevedibile, senza buchi, salti o asintoti improvvisi nel punto che stiamo osservando.

Immagina di tracciare con la penna il grafico di una funzione su un foglio: se per disegnarlo non hai mai bisogno di alzare la mano, allora la funzione che stai rappresentando è continua in quel tratto. Questa immagine intuitiva, che potresti aver incontrato già al biennio, nasconde in realtà una definizione molto rigorosa, fondata sul concetto di limite. Studiare la continuità significa capire quando le piccole variazioni dell'ingresso producono piccole variazioni dell'uscita, una proprietà preziosa in fisica, economia e ingegneria. Pensa al termometro di casa: la temperatura non passa mai bruscamente da 18 a 25 gradi, ma attraversa con continuità tutti i valori intermedi. Lo stesso vale per la posizione di un'auto che si muove lungo una strada: non può teletrasportarsi, ma deve toccare ogni punto del percorso. In questa scheda costruiremo un linguaggio matematico preciso per descrivere tutto questo.

Definizione rigorosa di continuità in un punto

Una funzione f definita in un intorno del punto x₀ si dice continua in x₀ quando il limite della funzione, per x che tende a x₀, esiste finito ed è uguale al valore che la funzione assume in quel punto, cioè lim(x→x₀) f(x) = f(x₀). Questa uguaglianza racchiude in realtà tre condizioni distinte, tutte necessarie. La prima richiede che x₀ appartenga al dominio, così che f(x₀) sia un numero reale ben definito. La seconda chiede che il limite esista finito, il che a sua volta significa che limite destro e limite sinistro coincidono e sono numeri reali. La terza, infine, impone che quel limite coincida proprio con il valore della funzione nel punto.

Un esempio quotidiano è la tariffa di una corsa in taxi a chilometraggio puro: se ogni metro percorso costa la stessa frazione di euro, la funzione costo-distanza è continua in ogni punto. Diverso è il caso di un parcheggio che fattura a ore intere: passando dal cinquantanovesimo al sessantesimo minuto la spesa salta di scatto, e la continuità nel punto di passaggio si rompe. Verificare la continuità, quindi, significa controllare ordinatamente queste tre richieste.

Continuità a destra e a sinistra

Quando il punto x₀ è un estremo del dominio, oppure quando la funzione è definita a tratti, è utile distinguere tra continuità laterale destra e sinistra. Si dice che f è continua a destra in x₀ se lim(x→x₀⁺) f(x) = f(x₀), mentre è continua a sinistra se lim(x→x₀⁻) f(x) = f(x₀). La funzione è continua nel punto se e solo se è continua sia da destra sia da sinistra e i due valori coincidono con f(x₀). Questa distinzione è cruciale nelle funzioni definite a tratti, dove regola di calcolo cambia attraversando un certo valore di x.

Pensa al costo dell'abbonamento ai trasporti urbani: fino al compimento dei 26 anni si paga la tariffa ridotta, dopo si passa alla tariffa intera. Avvicinandosi al ventiseiesimo compleanno da sinistra, il prezzo resta basso; subito dopo, da destra, sale. Un altro esempio è la curva di rendimento di un investimento che scatta in una nuova fascia di interessi al superamento di una certa soglia di capitale. Verificare la continuità ai due lati ci dice se la transizione è dolce o brusca.

Classificazione dei punti di discontinuità

Quando una delle tre condizioni della definizione non è soddisfatta, x₀ si dice punto di discontinuità, e il programma del quinto anno richiede di saperli classificare in tre specie. La discontinuità di prima specie, detta anche di salto, si presenta quando limite destro e limite sinistro esistono finiti ma sono diversi tra loro: la differenza tra i due valori prende il nome di salto. Un esempio è la funzione segno di x, che vale −1 per x negativo e +1 per x positivo: in zero il salto è esattamente 2. Pensa anche alla tariffa postale che cambia di scatto quando il peso del pacco supera un certo grammaggio.

La discontinuità di seconda specie si verifica quando almeno uno dei due limiti laterali è infinito oppure non esiste: è il caso classico degli asintoti verticali, come quello di 1/x in zero, o della funzione sin(1/x) sempre in zero, che oscilla senza assestarsi. La discontinuità di terza specie, infine, detta eliminabile, accade quando il limite esiste finito ma la funzione non è definita nel punto, oppure assume un valore diverso dal limite: basterebbe ridefinire la funzione in quel punto per renderla continua. Un classico è (sin x)/x in zero, che si prolunga ponendo il valore 1.

Continuità sugli intervalli e operazioni

Una funzione si dice continua su un intervallo quando è continua in ogni punto dell'intervallo, e questa proprietà globale apre la strada ai grandi teoremi che vedremo. Le funzioni elementari che hai studiato negli anni precedenti — polinomi, esponenziali, logaritmi, seno, coseno, radici nei rispettivi domini — sono tutte continue dove sono definite, e questo è un risultato che possiamo usare come patrimonio acquisito. Da queste mattoni si costruiscono nuove funzioni continue attraverso le operazioni algebriche e la composizione, secondo regole molto utili in pratica.

Se f e g sono continue in x₀, allora sono continue in x₀ anche la somma f+g, la differenza f−g, il prodotto f·g e, dove il denominatore non si annulla, il quoziente f/g. Anche la composizione g∘f è continua in x₀, purché g sia continua nel punto immagine f(x₀). Per esempio, la funzione che descrive la quantità di luce che entra in una stanza al variare dell'angolo della tapparella è la composizione di funzioni continue ed è quindi continua. Un secondo esempio è il calcolo dell'IVA su un prezzo: somma e prodotto di funzioni continue producono ancora una funzione continua del prezzo netto.

I tre grandi teoremi sulle funzioni continue

Se una funzione f è continua su un intervallo chiuso e limitato [a, b], valgono tre teoremi centrali che caratterizzano questo capitolo. Il teorema di Weierstrass garantisce che f ammette in [a, b] un valore massimo assoluto e un valore minimo assoluto: esistono cioè punti dell'intervallo in cui la funzione raggiunge i valori più alto e più basso. Pensa alla temperatura registrata in una città in una giornata di 24 ore: ci sarà certamente un istante più caldo e uno più freddo, perché la temperatura varia con continuità nel tempo.

Il teorema dei valori intermedi afferma che f assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b): in particolare, se f(a) e f(b) hanno segno opposto, allora esiste almeno un punto c di (a, b) in cui f(c) = 0, che è il teorema degli zeri. Immagina di salire da una quota di 100 metri a una di 2000 metri lungo un sentiero senza scalini: dovrai per forza attraversare la quota di 1500 metri almeno una volta. Questi teoremi sono lo strumento più potente per dimostrare l'esistenza di soluzioni di equazioni che non sappiamo risolvere esplicitamente, come x⁵ + x − 1 = 0.

Strategie operative per verificare la continuità

Di fronte a un esercizio sulla continuità conviene procedere con un metodo ordinato, in modo da non dimenticare nessuna delle condizioni della definizione. Ecco una procedura efficace in cinque passi che funziona praticamente sempre.

Determina il dominio della funzione e verifica se x₀ vi appartiene.
Calcola il limite destro lim(x→x₀⁺) f(x), prestando attenzione alla regola di calcolo valida a destra del punto.
Calcola il limite sinistro lim(x→x₀⁻) f(x), con la regola valida a sinistra.
Confronta i due limiti tra loro: se sono diversi o uno è infinito, classifica subito il tipo di discontinuità.
Se i due limiti sono uguali e finiti, confrontali con f(x₀): coincidenza significa continuità, differenza significa discontinuità eliminabile.

Per esempio, considera la funzione che vale x+1 se x≤2 e vale 3x−3 se x>2: limite sinistro in 2 vale 3, limite destro vale 3, valore in 2 vale 3, dunque la funzione è continua in 2. Un secondo esempio è la funzione (x²−4)/(x−2): in x=2 non è definita, ma il limite vale 4, quindi ha una discontinuità eliminabile, sanabile ponendo f(2)=4.

Curiosità e collegamenti

La continuità nasconde sorprese che vanno oltre l'intuizione del disegno con la penna. Esistono per esempio funzioni continue su tutto l'asse reale ma che non si possono disegnare a mano in alcun tratto, perché non sono derivabili in nessun punto: la più celebre è la funzione di Weierstrass, scoperta nel 1872, che ha rivoluzionato la concezione ottocentesca del rigore matematico. Questo esempio mostra che continuità e derivabilità non coincidono: ogni funzione derivabile è continua, ma il viceversa è falso, come dimostra il valore assoluto in zero.

Un altro collegamento interessante è con l'informatica: i numeri rappresentati dal calcolatore sono in numero finito, quindi qualsiasi calcolo numerico approssima funzioni continue con sequenze di valori discreti. Saper riconoscere dove una funzione perde la continuità aiuta a prevedere dove gli algoritmi numerici potrebbero comportarsi in modo instabile. Anche nei modelli economici, una funzione di domanda con discontinuità segnala spesso un cambio di regime fiscale, un'offerta promozionale o una soglia legale, informazioni utilissime da leggere matematicamente.

Ricorda

Una funzione è continua in x₀ quando x₀ appartiene al dominio, il limite per x→x₀ esiste finito e coincide con f(x₀).
La continuità laterale destra e sinistra deve essere verificata separatamente nelle funzioni definite a tratti.
Le discontinuità si classificano in prima specie (salto finito), seconda specie (almeno un limite infinito o non esistente) e terza specie (eliminabile).
Somma, differenza, prodotto, quoziente (dove definito) e composizione di funzioni continue restituiscono funzioni continue.
Su un intervallo chiuso e limitato valgono i teoremi di Weierstrass, dei valori intermedi e degli zeri.

Piccolo esercizio di verifica da svolgere subito sul quaderno: considera la funzione definita a tratti che vale (x²−1)/(x−1) per x≠1 e vale k per x=1. Determina il valore del parametro k che rende la funzione continua in x=1, motivando ogni passaggio con il calcolo esplicito del limite destro e del limite sinistro. Poi disegna a mano il grafico risultante e verifica che effettivamente la penna non si stacchi mai dal foglio.