La probabilità misura quanto è plausibile che un evento accada, traducendo l'incertezza in un numero compreso tra 0 e 1.
Nella vita di tutti i giorni capita spesso di chiedersi se pioverà domani, se la squadra del cuore vincerà oppure se il numero estratto alla tombola sarà proprio il nostro. La matematica permette di rispondere in modo rigoroso a queste domande quando l'esperimento è ben definito e i risultati possibili sono conoscibili. Lo strumento si chiama calcolo delle probabilità e parte da un'idea molto intuitiva: confrontare i casi che ci interessano con tutti quelli che si possono verificare. Da questo confronto nasce un numero che esprime la fiducia razionale che possiamo riporre nel verificarsi di un certo evento.
La definizione classica
Quando un esperimento ha un numero finito di esiti tutti egualmente possibili, possiamo applicare la cosiddetta definizione classica, dovuta a Laplace nel Settecento. Si chiama spazio campionario l'insieme di tutti gli esiti del nostro esperimento, mentre un evento è un sottoinsieme dello spazio campionario. La regola fondamentale dice che la probabilità di un evento è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili, ovvero p(E) = casi favorevoli / casi possibili. Affinché la formula sia valida è indispensabile che i casi possibili siano egualmente probabili, condizione che si verifica con dadi regolari, monete equilibrate o estrazioni casuali. Il valore ottenuto è sempre compreso fra 0, corrispondente all'evento impossibile, e 1, corrispondente all'evento certo, e si può esprimere anche in percentuale.
Consideriamo un mazzo di 40 carte napoletane da cui estraiamo una sola carta a caso: vogliamo calcolare la probabilità che esca una figura. I casi possibili sono 40, perché ciascuna carta ha la stessa possibilità di essere estratta. I casi favorevoli sono 12, dato che ogni seme contiene fante, cavallo e re, e i semi sono quattro. La probabilità cercata vale dunque 12/40, che semplificata diventa 3/10, cioè 0,3 oppure il 30%.
Eventi contrari, unione e intersezione
Dato un evento E, si chiama evento contrario l'evento che si verifica esattamente quando E non si verifica, e la sua probabilità è p(non E) = 1 − p(E). Questa relazione è preziosa quando contare direttamente i casi sfavorevoli risulta più semplice del calcolo diretto, come nel lancio di più dadi. Quando si considerano due eventi A e B, l'unione A∪B è l'evento che si verifica se accade almeno uno dei due, mentre l'intersezione A∩B richiede che entrambi accadano insieme. Due eventi si dicono incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente, e in tal caso vale p(A∪B) = p(A) + p(B); altrimenti si applica la formula generale p(A∪B) = p(A) + p(B) − p(A∩B). Due eventi sono invece indipendenti quando il verificarsi dell'uno non influisce sull'altro, e per essi vale la regola del prodotto p(A∩B) = p(A) · p(B), molto utile per esperimenti ripetuti come lanci successivi di una moneta.
Ricorda
- La probabilità di un evento è il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili, ed è un numero compreso fra 0 e 1.
- Per l'evento contrario vale p(non E) = 1 − p(E); per eventi indipendenti vale p(A∩B) = p(A) · p(B).
- Verifica attiva: sul quaderno calcola la probabilità che, lanciando due dadi regolari, la somma dei punti sia uguale a 7; elenca prima tutte le coppie favorevoli, poi scrivi il rapporto e semplificalo.