La probabilità è la disciplina matematica che misura quanto è verosimile che un evento accada, traducendo l'incertezza del mondo in numeri compresi tra zero e uno.
Introduzione: il caso che diventa numero
Quando lanciamo una moneta, estraiamo una carta da un mazzo o aspettiamo l'autobus alla fermata, ci muoviamo in un territorio governato dall'incertezza. La probabilità nasce proprio per dare ordine a questo territorio, trasformando intuizioni vaghe come «è facile» o «è improbabile» in valori numerici precisi e confrontabili. Pensiamo alle previsioni meteorologiche: quando il bollettino annuncia il 70% di pioggia domani, sta comunicando una stima quantitativa basata su modelli matematici. Allo stesso modo, un giocatore di scacchi che valuta una mossa o un medico che prescrive un esame diagnostico ragionano, spesso senza saperlo, in termini probabilistici. Studiare questa branca della matematica significa imparare a leggere il mondo con occhi nuovi, riconoscendo regolarità nascoste dietro l'apparente capriccio del caso. La storia della probabilità inizia nel Seicento con Pascal e Fermat, chiamati a risolvere problemi sui giochi d'azzardo, ma oggi le sue applicazioni spaziano dalla genetica all'economia, dall'intelligenza artificiale alla fisica quantistica.
Esperimenti aleatori, eventi e spazio campionario
Un esperimento aleatorio è una prova il cui esito non può essere previsto con certezza, pur essendo noti in anticipo tutti i risultati possibili. L'insieme di questi risultati prende il nome di spazio campionario e si indica solitamente con la lettera Ω, che riunisce ogni esito elementare dell'esperimento. Per esempio, lanciando un dado a sei facce, lo spazio campionario è Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, perché questi sono tutti e soli i numeri che possono uscire. Un evento, invece, è un sottoinsieme dello spazio campionario, ossia una raccolta di esiti che condividono una caratteristica scelta da noi. Se consideriamo l'evento «esce un numero pari» nel lancio del dado, otteniamo il sottoinsieme {2, 4, 6}, formato dai tre esiti che soddisfano la condizione. Un secondo esempio quotidiano è l'estrazione di una pallina da un sacchetto contenente palline rosse, blu e verdi: l'evento «esce una pallina che non è blu» comprende tutte le palline rosse e verdi presenti nel sacchetto.
La definizione classica di Laplace
La definizione classica, formulata da Pierre-Simon Laplace nel Settecento, stabilisce che la probabilità di un evento si calcola come rapporto fra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili, purché tutti gli esiti siano equiprobabili. Indicando con P(E) la probabilità dell'evento E, scriviamo dunque P(E) = (casi favorevoli) ÷ (casi possibili), una formula tanto semplice quanto potente per trattare situazioni di simmetria. Consideriamo un mazzo da quaranta carte napoletane e calcoliamo la probabilità di estrarre una figura: le figure sono dodici (fante, cavallo e re per ognuno dei quattro semi), dunque P(figura) = 12/40 = 3/10 = 0,3. Un secondo esempio riguarda una ruota della tombola con i numeri da 1 a 90: la probabilità di estrarre un multiplo di 10 è P = 9/90 = 1/10, perché i multipli di 10 nell'intervallo considerato sono esattamente nove. Questa definizione, però, presuppone che si possa contare con precisione gli esiti e che essi siano equiprobabili, condizione non sempre verificata nella realtà.
Probabilità frequentista e soggettiva
Quando gli esiti non sono equiprobabili o non riusciamo nemmeno a elencarli, ricorriamo alla definizione frequentista, che stima la probabilità come frequenza relativa osservata in un grande numero di prove ripetute. In pratica, ripetiamo l'esperimento molte volte e calcoliamo il rapporto fra il numero di volte in cui l'evento si è verificato e il numero totale di tentativi effettuati. Per esempio, una fabbrica di lampadine controlla mille pezzi e ne trova sette difettosi: stimerà la probabilità di produrre una lampadina difettosa pari a 7/1000 = 0,007. Esiste poi la definizione soggettiva, che interpreta la probabilità come grado di fiducia personale che un individuo, sulla base delle sue informazioni, attribuisce al verificarsi di un evento. Un meteorologo che afferma «la probabilità di neve domani è del 40%» sta esprimendo una valutazione soggettiva, basata su modelli e dati ma comunque inevitabilmente personale. Queste tre definizioni — classica, frequentista e soggettiva — non sono in conflitto, bensì rispondono a domande diverse e si completano a vicenda.
Eventi certi, impossibili e proprietà fondamentali
Dalla formula classica discendono alcune proprietà che ogni probabilità deve necessariamente rispettare e che costituiscono la base assiomatica della teoria moderna. Innanzitutto, la probabilità di un evento è sempre un numero compreso fra 0 e 1, perché i casi favorevoli non possono mai superare quelli possibili né essere negativi. L'evento certo, che si verifica sempre, ha probabilità pari a 1: per esempio, lanciando un dado, l'evento «esce un numero minore di 7» è certo, perché tutti gli esiti soddisfano la condizione. L'evento impossibile, che non si verifica mai, ha probabilità pari a 0: pescando una carta da un mazzo da quaranta, l'evento «esce un nove di cuori» è impossibile, perché nelle carte napoletane non esistono i nove. Inoltre, dato un evento E, esiste sempre il suo evento contrario, indicato con Ē oppure non-E, che si verifica esattamente quando E non si verifica: vale la relazione P(Ē) = 1 - P(E). Per esempio, se la probabilità che domani piova è 0,3, la probabilità che non piova è 1 - 0,3 = 0,7.
Unione, intersezione ed eventi incompatibili
Dati due eventi A e B, possiamo costruire nuovi eventi combinandoli attraverso le operazioni insiemistiche di unione e intersezione, che corrispondono ai connettivi logici «o» ed «e». L'unione A ∪ B si verifica quando si verifica almeno uno fra A e B, mentre l'intersezione A ∩ B si verifica solo quando entrambi gli eventi si verificano contemporaneamente. Vale il principio di inclusione-esclusione, espresso dalla formula P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B), che evita di contare due volte gli esiti comuni. Due eventi si dicono incompatibili (o disgiunti) quando non possono verificarsi insieme, ossia quando A ∩ B = ∅: in tal caso P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Per esempio, lanciando un dado, gli eventi «esce 3» e «esce 5» sono incompatibili, quindi la probabilità che esca 3 oppure 5 vale 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3. Considerando invece gli eventi «esce un numero pari» e «esce un numero maggiore di 3», essi hanno in comune gli esiti 4 e 6, quindi P(pari ∪ >3) = 3/6 + 3/6 - 2/6 = 4/6 = 2/3.
Eventi indipendenti e probabilità condizionata
Due eventi si dicono indipendenti quando il verificarsi dell'uno non modifica la probabilità dell'altro, condizione che si traduce nella formula P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Il caso tipico è quello delle prove ripetute con reinserimento, come due lanci consecutivi della stessa moneta: la probabilità di ottenere testa al primo lancio e testa al secondo è (1/2) · (1/2) = 1/4. Un altro esempio è l'estrazione di due palline da un'urna con reimmissione, dove la composizione dell'urna resta invariata fra le due estrazioni e le prove sono perciò indipendenti. Quando invece la probabilità di B dipende dal fatto che A si sia verificato, parliamo di probabilità condizionata, indicata con P(B|A) e definita dalla formula P(B|A) = P(A ∩ B) ÷ P(A). Per esempio, in una classe di 20 studenti, 12 studiano inglese e 5 di questi studiano anche francese: la probabilità che uno studente, scelto a caso fra quelli che studiano inglese, studi anche francese è P(francese|inglese) = 5/12. Da questa definizione discende la legge di moltiplicazione P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A), valida anche quando gli eventi non sono indipendenti.
Ricorda
- La probabilità di un evento si calcola come rapporto fra casi favorevoli e casi possibili, quando gli esiti sono equiprobabili.
- Ogni probabilità è un numero compreso fra 0 (evento impossibile) e 1 (evento certo), e per l'evento contrario vale P(Ē) = 1 - P(E).
- Per eventi qualsiasi si applica la formula P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B); se sono incompatibili l'intersezione vale zero.
- Due eventi sono indipendenti quando P(A ∩ B) = P(A) · P(B); altrimenti si usa la probabilità condizionata P(B|A) = P(A ∩ B) ÷ P(A).
- Accanto alla definizione classica esistono quella frequentista (basata sulle frequenze osservate) e quella soggettiva (basata sul grado di fiducia personale).
Piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: in un'urna ci sono 5 palline rosse, 3 verdi e 2 gialle. Calcola sul tuo quaderno (a) la probabilità di estrarre una pallina rossa, (b) la probabilità di estrarre una pallina non gialla, (c) la probabilità di estrarre, in due estrazioni successive con reimmissione, prima una rossa e poi una verde. Scrivi tutti i passaggi e confronta le tre probabilità ottenute, commentando quale evento è più probabile e perché.