I numeri complessi estendono i numeri reali introducendo l'unità immaginaria i, che soddisfa la relazione i² = -1, permettendo di risolvere equazioni come x² + 1 = 0 e di rappresentare grandezze nel piano.
Fin dalle scuole medie hai incontrato insiemi numerici sempre più ampi: dai naturali agli interi, poi ai razionali e infine ai reali. Ogni ampliamento serviva a risolvere problemi che prima non avevano soluzione, come sottrarre un numero più grande o estrarre una radice quadrata. Tuttavia anche nei reali resta un ostacolo: l'equazione x² = -1 non ha soluzioni perché ogni quadrato reale è positivo o nullo. Per superare questo limite i matematici hanno introdotto un nuovo simbolo, chiamato unità immaginaria e indicato con i, definito dalla proprietà i² = -1. Da questo piccolo seme nasce un intero universo numerico, ricco di applicazioni in fisica, ingegneria elettrica e geometria del piano.
Forma algebrica e operazioni
Un numero complesso si scrive nella forma z = a + bi, dove a e b sono numeri reali chiamati rispettivamente parte reale e parte immaginaria. Il numero a corrisponde a Re(z), mentre b corrisponde a Im(z): attenzione, la parte immaginaria è il coefficiente b, non bi. Quando b = 0 ritroviamo i numeri reali, mentre quando a = 0 otteniamo i cosiddetti immaginari puri come 3i o -7i. Due numeri complessi sono uguali quando coincidono sia la parte reale sia quella immaginaria, dunque a + bi = c + di equivale al sistema a = c e b = d. Questa doppia identità è fondamentale e permette di trattare un'equazione complessa come due equazioni reali simultanee.
Le operazioni di somma e differenza si svolgono trattando i come una lettera qualsiasi: si sommano separatamente le parti reali e le parti immaginarie, ottenendo (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. La moltiplicazione segue la proprietà distributiva ma sfrutta la regola chiave i² = -1, che trasforma il prodotto bi · di in -bd: il risultato è (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. Per la divisione si introduce il complesso coniugato di z = a + bi, indicato con z̄ = a - bi, che ha la proprietà notevole z · z̄ = a² + b², un numero reale non negativo. Per dividere due complessi si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore, eliminando così l'unità immaginaria dal denominatore. Considera l'esempio (3 + 2i) / (1 - i): moltiplicando sopra e sotto per 1 + i otteniamo (3 + 2i)(1 + i) / ((1 - i)(1 + i)) = (3 + 3i + 2i + 2i²) / (1 - i²) = (3 - 2 + 5i) / 2 = 1/2 + 5/2 i.
Piano di Gauss, modulo e forma trigonometrica
Un numero complesso z = a + bi si rappresenta come un punto P(a, b) nel piano cartesiano, detto piano di Gauss o piano complesso, in cui l'asse delle ascisse ospita la parte reale e quello delle ordinate la parte immaginaria. A ogni numero corrisponde anche un vettore che parte dall'origine e arriva in P, fornendo un'interpretazione geometrica delle operazioni. La somma di due complessi corrisponde alla regola del parallelogramma fra i loro vettori, mentre il coniugato è il simmetrico rispetto all'asse reale. Si definisce modulo di z la lunghezza di questo vettore, calcolata come |z| = √(a² + b²); il modulo è sempre un numero reale non negativo e vale zero solo se z = 0. L'angolo θ formato dal vettore con il semiasse reale positivo si chiama argomento di z e si determina dalle relazioni cos θ = a/|z| e sin θ = b/|z|, scegliendo θ nell'intervallo principale tra 0 e 2π.
Da queste considerazioni geometriche nasce la forma trigonometrica z = ρ(cos θ + i sin θ), dove ρ = |z| è il modulo e θ è l'argomento. Questa forma è particolarmente comoda per la moltiplicazione e l'elevamento a potenza: il prodotto di due complessi ha per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti. Da qui si ricava la formula di De Moivre, secondo cui z^n = ρ^n (cos(nθ) + i sin(nθ)), strumento potentissimo per calcolare potenze altrimenti laboriose. Anche le radici n-esime si determinano facilmente: il numero complesso w soddisfa w^n = z se ha modulo ρ^(1/n) e argomento (θ + 2kπ)/n con k che varia da 0 a n-1, generando n radici distinte disposte ai vertici di un poligono regolare inscritto nella circonferenza di raggio ρ^(1/n). Infine il teorema fondamentale dell'algebra garantisce che ogni equazione polinomiale di grado n a coefficienti complessi ammette esattamente n soluzioni nei complessi, contate con la loro molteplicità.
Ricorda
- L'unità immaginaria i soddisfa i² = -1; un numero complesso si scrive z = a + bi con a, b reali, e a, b si chiamano parte reale e parte immaginaria.
- Il coniugato z̄ = a - bi serve a razionalizzare le divisioni e vale z · z̄ = a² + b² = |z|².
- La forma trigonometrica z = ρ(cos θ + i sin θ) e la formula di De Moivre semplificano potenze e radici n-esime.
- Esercizio attivo sul quaderno: dato z = 1 + i√3, calcola modulo e argomento, scrivilo in forma trigonometrica, poi usa De Moivre per determinare z⁶ e verifica che il risultato sia un numero reale.