I numeri complessi nascono per dare un nome alle radici quadrate dei numeri negativi e aprono un mondo nuovo, dove ogni equazione di secondo grado ha sempre una soluzione e dove i numeri si rappresentano come punti del piano.
Perché servono i numeri complessi
Fin dalle scuole medie sai che l'equazione x al quadrato uguale a meno uno non ha soluzioni reali, perché qualsiasi numero reale al quadrato dà un risultato positivo o nullo. Per secoli i matematici si sono fermati davanti a questo muro, finché nel Cinquecento Bombelli e Cardano, lavorando sulle equazioni di terzo grado, hanno avuto un'intuizione rivoluzionaria. Hanno deciso di accettare, almeno per gioco, l'esistenza di un numero il cui quadrato fosse meno uno e di chiamarlo unità immaginaria, indicata con la lettera i. Con questa scelta apparentemente folle hanno scoperto che potevano risolvere problemi prima impossibili, ottenendo alla fine risposte perfettamente reali. Pensa, per analogia, a quando in prima media hai accettato l'esistenza dei numeri negativi: prima sembravano assurdi, poi sono diventati indispensabili per descrivere temperature sotto zero, debiti o spostamenti all'indietro. Allo stesso modo i numeri immaginari, all'inizio strani, oggi sono lo strumento naturale per descrivere correnti alternate, segnali radio, vibrazioni e moltissima fisica moderna.
La forma algebrica e le quattro operazioni
Un numero complesso si scrive nella forma z uguale ad a più i b, dove a e b sono numeri reali, chiamati rispettivamente parte reale e parte immaginaria di z, in simboli Re(z) uguale ad a e Im(z) uguale a b. Quando b vale zero ritrovi i normali numeri reali, mentre quando a vale zero ottieni un numero detto immaginario puro, come 3i oppure meno 7i. Per sommare due numeri complessi si sommano separatamente le parti reali e le parti immaginarie, come faresti con due vettori: ad esempio (2 più 3i) più (4 meno 5i) dà 6 meno 2i. Per moltiplicarli si applica la proprietà distributiva ricordando la regola fondamentale che i al quadrato vale meno uno: così (2 più 3i)(1 più 4i) diventa 2 più 8i più 3i più 12 per i al quadrato, cioè 2 più 11i meno 12, ossia meno 10 più 11i. Per dividere si usa il trucco del coniugato, che vedremo tra poco, mentre la sottrazione funziona esattamente come la somma cambiando i segni. Una regola pratica utile riguarda le potenze di i: i alla prima vale i, i al quadrato vale meno uno, i al cubo vale meno i, i alla quarta vale uno, e poi il ciclo si ripete ogni quattro, quindi per calcolare i alla cinquantesima basta dividere 50 per 4 e usare il resto.
Coniugato, modulo e divisione
Dato z uguale ad a più i b, si chiama coniugato di z il numero z segnato uguale ad a meno i b, ottenuto cambiando segno alla sola parte immaginaria. Il prodotto di un numero per il suo coniugato è sempre un numero reale e non negativo, perché (a più i b)(a meno i b) dà a al quadrato più b al quadrato, una somma di quadrati che misura la lunghezza del numero. Questa radice quadrata di a al quadrato più b al quadrato si chiama modulo di z, si indica con le barrette verticali |z| e rappresenta esattamente la distanza dall'origine quando rappresentiamo z come punto del piano. Il coniugato è lo strumento perfetto per dividere due numeri complessi: per calcolare (3 più 2i) diviso (1 meno i) basta moltiplicare numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore, cioè per 1 più i, ottenendo al denominatore un numero reale e quindi un risultato in forma a più i b. Sviluppando i calcoli si ottiene (3 più 3i più 2i meno 2)/(1 più 1), che vale (1 più 5i) diviso 2, cioè un mezzo più cinque mezzi i. È utile ricordare alcune proprietà del coniugato che useremo spesso: il coniugato di una somma è la somma dei coniugati, il coniugato di un prodotto è il prodotto dei coniugati, e un numero coincide con il proprio coniugato se e solo se è reale.
Il piano di Gauss e la forma trigonometrica
Il matematico Gauss ebbe l'idea geniale di rappresentare ogni numero complesso z uguale ad a più i b come il punto di coordinate (a, b) in un piano cartesiano, chiamato per questo piano di Gauss o piano complesso. L'asse delle ascisse contiene i numeri reali, l'asse delle ordinate i numeri immaginari puri, e questa rappresentazione geometrica rende visibile ciò che algebricamente era astratto. In questo piano il modulo |z| è la distanza dall'origine, mentre l'angolo che il segmento da O a z forma con il semiasse positivo delle ascisse si chiama argomento di z, indicato con arg(z) o con la lettera greca theta. Conoscendo modulo r e argomento theta si può scrivere z nella forma trigonometrica z uguale a r per (coseno di theta più i seno di theta), perché a vale r coseno theta e b vale r seno theta. Ad esempio il numero z uguale a 1 più i ha modulo radice di 2 e argomento 45 gradi, quindi si scrive radice di 2 per (coseno di 45 gradi più i seno di 45 gradi). Questa forma è preziosissima per le moltiplicazioni: il prodotto di due numeri complessi ha modulo uguale al prodotto dei moduli e argomento uguale alla somma degli argomenti, quindi geometricamente moltiplicare per un complesso significa scalare e ruotare nel piano.
Potenze e radici: la formula di De Moivre
Dalla forma trigonometrica nasce una delle formule più eleganti della matematica, dovuta a De Moivre: per ogni intero positivo n vale che z elevato alla n uguale a r alla n per (coseno di n theta più i seno di n theta). Per calcolare (1 più i) alla decima, ad esempio, conviene scrivere 1 più i in forma trigonometrica come radice di 2 per (coseno di 45 gradi più i seno di 45 gradi) e poi applicare la formula, ottenendo (radice di 2) alla decima per (coseno di 450 gradi più i seno di 450 gradi), cioè 32 per (coseno di 90 gradi più i seno di 90 gradi), ossia 32 i. La stessa idea, letta al contrario, ci permette di estrarre le radici n-esime di un numero complesso e qui c'è una sorpresa importante: ogni numero complesso non nullo ha esattamente n radici n-esime distinte, che si dispongono ai vertici di un poligono regolare nel piano di Gauss. Le radici n-esime di z uguale a r per (coseno di theta più i seno di theta) si calcolano con la formula radice n-esima di r per (coseno di ((theta più 2 k pi greco) diviso n) più i seno di ((theta più 2 k pi greco) diviso n)), facendo variare k da zero a n meno uno. Così le tre radici cubiche di 8 non sono solo 2, come saresti tentato di pensare, ma anche due numeri complessi che, insieme a 2, formano un triangolo equilatero centrato nell'origine. Questa proprietà è alla base del cosiddetto teorema fondamentale dell'algebra, che afferma che ogni equazione polinomiale di grado n a coefficienti complessi ha esattamente n soluzioni nel campo complesso, contate con la loro molteplicità.
Ricorda
I punti chiave da fissare bene in mente sono i seguenti: l'unità immaginaria i soddisfa i al quadrato uguale a meno uno; ogni numero complesso si scrive come a più i b, con a e b reali; il coniugato cambia segno alla parte immaginaria e serve a dividere; il modulo è la radice di a al quadrato più b al quadrato e rappresenta la distanza dall'origine nel piano di Gauss; la forma trigonometrica r per (coseno theta più i seno theta) trasforma moltiplicazioni in somme di angoli; la formula di De Moivre dà potenze e radici, e ogni numero complesso non nullo ha esattamente n radici n-esime distinte. Per verificare di aver capito, prendi ora il quaderno e svolgi questo piccolo esercizio: dato z uguale a meno 1 più radice di 3 per i, calcola la parte reale, la parte immaginaria, il coniugato, il modulo, l'argomento in gradi, scrivi z in forma trigonometrica e infine calcola z al quadrato sia con la forma algebrica sia con la formula di De Moivre, controllando che i due risultati coincidano.