Una funzione esponenziale lega una variabile a una potenza in cui l'incognita sta all'esponente: cresce o decresce a ritmo moltiplicativo, non additivo, e modella molti fenomeni reali come gli interessi composti o il decadimento di un farmaco.
La funzione esponenziale si scrive nella forma f(x) = a^x, dove a è un numero reale positivo e diverso da 1, chiamato base. La variabile x può assumere qualsiasi valore reale, quindi il dominio è tutto R, mentre l'immagine è sempre l'intervallo dei reali positivi, perché una potenza a base positiva non può mai annullarsi né diventare negativa. La condizione a > 0 serve a garantire che la potenza sia definita anche per esponenti razionali con denominatore pari, mentre escludere a = 1 evita il caso banale della funzione costante uguale a 1. Capire questa definizione è il primo passo per distinguere l'esponenziale dalla potenza, in cui invece la variabile sta alla base.
Proprietà e grafico
Le proprietà delle potenze restano valide anche quando l'esponente è una variabile, e questo permette di manipolare con sicurezza le scritture esponenziali. In particolare, a^x · a^y = a^(x+y), a^x : a^y = a^(x-y), (a^x)^y = a^(xy) e a^0 = 1 per ogni base ammessa. Queste regole rendono ogni funzione esponenziale un oggetto algebricamente molto prevedibile, perché tutte le trasformazioni si riducono a somme o prodotti degli esponenti. Per esempio, l'espressione 2^(x+3) può essere riscritta come 2^x · 2^3, cioè 8·2^x, mostrando che si tratta semplicemente di una dilatazione verticale del grafico di 2^x. Il grafico stesso ha una forma caratteristica: passa sempre per il punto (0,1), perché a^0 = 1, e ha come asintoto orizzontale l'asse delle ascisse. Se la base è maggiore di 1 la funzione è strettamente crescente, mentre se la base è compresa tra 0 e 1 la funzione è strettamente decrescente, e in entrambi i casi non interseca mai l'asse x.
Iniettività ed equazioni elementari
Una conseguenza importante della monotonia è che la funzione esponenziale è iniettiva: a valori distinti dell'esponente corrispondono valori distinti della potenza. Da questo segue il principio di identità degli esponenziali, secondo cui da a^x = a^y, con a positivo e diverso da 1, si può dedurre x = y. Questo principio è lo strumento principale per risolvere le equazioni esponenziali elementari, in cui occorre prima ridurre entrambi i membri alla stessa base e poi uguagliare gli esponenti. Consideriamo l'equazione 3^(2x-1) = 27: poiché 27 = 3^3, l'equazione diventa 3^(2x-1) = 3^3, da cui 2x - 1 = 3 e quindi x = 2. Quando le basi sono diverse e non riconducibili a una comune, si ricorre ai logaritmi, ma per le equazioni elementari il metodo della base unica resta il più rapido ed elegante.
Ricorda
- La forma generale è f(x) = a^x con a > 0 e a ≠ 1; il dominio è R e l'immagine è l'insieme dei reali positivi.
- Se a > 1 la funzione cresce, se 0 < a < 1 decresce; in ogni caso il grafico passa per (0,1) e ha l'asse x come asintoto orizzontale.
- Iniettività: da a^x = a^y segue x = y, principio chiave per risolvere le equazioni esponenziali elementari.
- Esercizio di verifica sul quaderno: scrivi nel quaderno l'equazione 5^(x+2) = 125 e risolvila riducendo entrambi i membri alla stessa base; poi rappresenta in uno stesso piano cartesiano i grafici di y = 2^x e y = (1/2)^x e indica un punto di intersezione.