Le funzioni esponenziali descrivono fenomeni che crescono o decrescono in modo rapidissimo, dal raddoppio dei batteri alla svalutazione di un'auto. In questa lezione scopriremo come si costruiscono, come si rappresentano e perché compaiono ovunque, dalla finanza alla biologia.
Dalla potenza alla funzione
Fin dalle medie hai incontrato le potenze: scrivere 2 elevato a 3 significa moltiplicare 2 per sé stesso tre volte. Quando però l'esponente diventa una variabile, qualcosa di importante cambia: non stiamo più calcolando un singolo numero ma definendo una vera e propria funzione. Una funzione esponenziale ha la forma y = a^x, dove a è un numero reale positivo e diverso da 1, mentre x può assumere qualunque valore reale. La base a si chiama base dell'esponenziale, mentre x è l'esponente che varia e che genera tutti i valori della funzione. Per esempio, se prendiamo y = 2^x e diamo a x i valori 0, 1, 2, 3, otteniamo rispettivamente 1, 2, 4, 8: i numeri raddoppiano ogni volta che x aumenta di uno. Se invece partiamo da y = 3^x e calcoliamo i valori per x uguale a -1, 0, 1, 2, otteniamo 1/3, 1, 3, 9, mostrando che la funzione è definita anche per esponenti negativi.
Perché la base deve essere positiva e diversa da 1
Le condizioni imposte sulla base non sono un capriccio matematico, ma una necessità per avere una funzione ben definita su tutti i reali. Se la base fosse negativa, ad esempio -2, allora (-2)^(1/2) sarebbe la radice quadrata di un numero negativo, che nei reali non esiste, e la funzione presenterebbe buchi ovunque. Se la base fosse zero, avremmo 0^x che vale zero per x positivo ma non è definita per x uguale a zero o negativo, perdendo significato. Se la base fosse esattamente 1, otterremmo 1^x = 1 per ogni x, ottenendo una funzione costante e perciò poco interessante. Per questo si richiede a > 0 e a ≠ 1: in questo modo l'espressione a^x è ben definita per qualsiasi numero reale x. Pensiamo a una popolazione di api che cresce con base 1,8 oppure a una sostanza radioattiva che decade con base 0,5: in entrambi i casi la base rispetta queste condizioni naturali. Quando incontrerai una funzione come y = (-3)^x in un esercizio, ricorda subito che non è una funzione esponenziale ammissibile.
Il grafico: crescita e decrescita
Il grafico di y = a^x ha due forme distinte, a seconda che la base sia maggiore o minore di 1, e si tratta di un comportamento che vale la pena visualizzare con cura. Se a > 1 la funzione è crescente: man mano che x aumenta, anche y aumenta, e cresce sempre più velocemente, fino a sembrare quasi verticale. Se invece 0 < a < 1 la funzione è decrescente: i valori di y diminuiscono all'aumentare di x, avvicinandosi all'asse x senza mai toccarlo. In entrambi i casi il grafico passa sempre per il punto (0, 1) perché qualsiasi numero diverso da zero elevato a zero vale 1, e questa è una caratteristica utilissima da ricordare. L'asse x è un asintoto orizzontale: la curva si avvicina indefinitamente all'asse delle ascisse ma non lo incontra mai. Per esempio il grafico di y = 2^x parte da valori molto piccoli a sinistra, attraversa (0, 1) e schizza in alto a destra; quello di y = (1/2)^x è il suo simmetrico rispetto all'asse y, perché (1/2)^x = 2^(-x).
Dominio, codominio e iniettività
Uno dei punti di forza delle funzioni esponenziali è la pulizia delle loro proprietà insiemistiche, che le rende invertibili in tutto il loro dominio. Il dominio è sempre l'insieme di tutti i numeri reali, perché possiamo elevare una base positiva a qualsiasi esponente, intero, razionale o irrazionale. Il codominio invece è l'intervallo (0, +∞): la funzione assume soltanto valori strettamente positivi, perché una potenza con base positiva non può mai essere zero o negativa. Questa caratteristica si traduce graficamente nel fatto che la curva resta sempre sopra l'asse delle x, senza eccezioni. La funzione è inoltre iniettiva, cioè a valori diversi di x corrispondono valori diversi di y: questo significa che possiamo invertirla ottenendo il logaritmo. Per esempio in y = 3^x non esistono due x diverse che diano lo stesso y, e questo ci permette di risolvere equazioni del tipo 3^x = 81 trovando x = 4 in modo univoco.
Le proprietà delle potenze applicate alle funzioni
Le proprietà delle potenze che hai imparato in passato si trasferiscono naturalmente alle funzioni esponenziali, diventando uno strumento di calcolo potentissimo. Ricorda che a^x · a^y = a^(x+y), cioè per moltiplicare due potenze con la stessa base si sommano gli esponenti: per esempio 2^3 · 2^5 = 2^8 = 256. Per dividere si sottraggono gli esponenti, e quindi 5^7 / 5^4 = 5^3 = 125, sempre mantenendo la base inalterata. Per elevare una potenza a un'altra potenza si moltiplicano gli esponenti: (3^2)^4 = 3^8 = 6561. Inoltre a^(-x) = 1/a^x, e questo collega le funzioni esponenziali alle loro reciproche, come quando scriviamo 2^(-3) = 1/8. Infine a^0 = 1 per qualsiasi base ammissibile, il che spiega perché tutti i grafici esponenziali si incontrano in (0, 1). Queste regole ti aiuteranno a semplificare espressioni come (2^x · 4^x) / 8^x, che riscritte con potenze di 2 diventano 2^x · 2^(2x) / 2^(3x) = 2^0 = 1.
Trasformazioni del grafico
A partire dal grafico base di y = a^x possiamo costruirne molti altri con semplici trasformazioni geometriche, sfruttando regole che vedrai anche con altre funzioni. Se sommiamo una costante k alla funzione, ottenendo y = a^x + k, il grafico si sposta verticalmente di k unità: in questo caso l'asintoto orizzontale diventa la retta y = k. Se sostituiamo x con x - h, ottenendo y = a^(x-h), il grafico trasla orizzontalmente di h unità verso destra. Se moltiplichiamo per una costante c, ottenendo y = c · a^x, il grafico si dilata o si comprime verticalmente, e se c è negativa si riflette anche rispetto all'asse x. Per esempio y = 2^x + 3 è il grafico di 2^x spostato in alto di 3 unità, con asintoto in y = 3 e passaggio per il punto (0, 4). Un altro esempio quotidiano è y = 100 · (0,9)^x, che descrive una grandezza che parte da 100 e diminuisce del 10% a ogni passo: il fattore moltiplicativo 100 stabilisce il valore iniziale.
Esponenziali in natura e nella vita reale
Le funzioni esponenziali non sono un esercizio astratto, ma compaiono in molti fenomeni che osserviamo ogni giorno e che riguardano direttamente la nostra esistenza. La crescita di una popolazione di batteri in laboratorio è modellata da N(t) = N₀ · 2^(t/T), dove N₀ è la popolazione iniziale e T è il tempo di raddoppio. Anche un capitale depositato in banca con interesse composto cresce secondo C(t) = C₀ · (1 + i)^t, e ad esempio 1000 euro al 3% annuo dopo 5 anni diventano circa 1159 euro. Il decadimento radioattivo segue la legge N(t) = N₀ · (1/2)^(t/T), dove T è il tempo di dimezzamento, e questo principio è alla base della datazione con il carbonio-14 usata in archeologia. Anche la temperatura di un caffè che si raffredda nell'ambiente segue una legge di tipo esponenziale, avvicinandosi pian piano alla temperatura della stanza. Il numero e ≈ 2,71828, detto numero di Nepero, è la base privilegiata di molti modelli di crescita continua perché nasce naturalmente da queste situazioni e lo rincontrerai studiando i logaritmi.
Equazioni esponenziali elementari
Un'equazione esponenziale è un'equazione in cui l'incognita compare a esponente, e nei casi più semplici si risolve riconducendo i due membri alla stessa base. La regola fondamentale è la seguente: se a^x = a^y allora x = y, e questa proprietà discende direttamente dall'iniettività della funzione esponenziale. Per esempio, per risolvere 3^x = 27 osserviamo che 27 = 3^3, dunque l'equazione diventa 3^x = 3^3 e quindi x = 3. Per risolvere 2^(x+1) = 32 riscriviamo 32 come 2^5, ottenendo 2^(x+1) = 2^5 e quindi x + 1 = 5, da cui x = 4. Quando le basi non sono ovviamente riconducibili tra loro, come in 5^x = 7, sarà necessario introdurre i logaritmi, che studierai nel prossimo modulo. Un altro esempio: per risolvere 4^x = 1/8 trasformiamo entrambi i membri in potenze di 2, ottenendo 2^(2x) = 2^(-3) e dunque 2x = -3, da cui x = -3/2. Il metodo della riduzione alla stessa base funziona ogni volta che le basi sono potenze di uno stesso numero.
Ricorda
- Una funzione esponenziale ha la forma y = a^x con a > 0 e a ≠ 1.
- Il dominio è tutto R, il codominio è (0, +∞), e il grafico passa sempre per (0, 1).
- Se a > 1 la funzione cresce, se 0 < a < 1 decresce; in entrambi i casi l'asse x è asintoto orizzontale.
- Si applicano tutte le proprietà delle potenze: somma di esponenti nel prodotto, differenza nella divisione, prodotto nell'elevazione a potenza.
- Per risolvere equazioni elementari riduci entrambi i membri alla stessa base e poi uguaglia gli esponenti.
- I fenomeni di crescita e decadimento (capitali, popolazioni, radioattività) si descrivono con modelli esponenziali.
Esercizio di verifica sul quaderno: disegna sullo stesso piano cartesiano i grafici di y = 3^x e y = (1/3)^x, calcolando almeno cinque punti per ciascuna funzione (per x = -2, -1, 0, 1, 2). Osserva la simmetria rispetto all'asse y e scrivi una frase che la giustifichi usando le proprietà delle potenze. Poi risolvi l'equazione 9^x = 27 riconducendo entrambi i membri alla base 3.