La circonferenza è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro, e nel piano cartesiano si traduce in un'equazione di secondo grado con caratteristiche ben precise.
Nel piano cartesiano la circonferenza prende forma attraverso un'equazione che lega in modo elegante la geometria alle coordinate. Conoscere questa equazione permette di passare con disinvoltura dalla figura geometrica alla sua rappresentazione algebrica e viceversa. In terza liceo questo argomento collega gli strumenti della geometria analitica già studiati per la retta a una nuova famiglia di curve, le coniche. Imparerai a riconoscere quando un'equazione rappresenta davvero una circonferenza e a ricavare informazioni come centro e raggio. Vedrai inoltre come determinare una circonferenza a partire da condizioni geometriche, ad esempio tre punti per cui deve passare. Infine studierai la posizione reciproca tra una retta e una circonferenza, completando così un quadro coerente e potente.
L'equazione della circonferenza
Una circonferenza di centro $C(\alpha,\beta)$ e raggio $r>0$ è formata da tutti i punti $P(x,y)$ tali che la distanza da $C$ sia esattamente $r$. Applicando la formula della distanza si ottiene $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2$, detta equazione in forma canonica. Sviluppando i quadrati e riordinando i termini si arriva alla forma generale $x^2+y^2+ax+by+c=0$, dove i coefficienti $a$ e $b$ sono legati al centro e $c$ al raggio.
Le formule di collegamento tra le due forme sono fondamentali e vanno conosciute con sicurezza: il centro si trova in $C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)$ e il raggio si calcola con $r=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c}$. Perché l'equazione rappresenti una vera circonferenza occorre che il radicando sia strettamente positivo, cioè $\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c>0$. Se il radicando è nullo l'equazione descrive un solo punto, mentre se è negativo non esiste alcun luogo geometrico reale. Considera l'equazione $x^2+y^2-4x+6y-12=0$: applicando le formule si ottiene $C(2,-3)$ e $r=\sqrt{4+9+12}=5$, quindi la circonferenza esiste ed è tracciabile sul piano.
Determinare una circonferenza e intersecarla con una retta
Per determinare una circonferenza servono tre condizioni indipendenti, perché l'equazione generale contiene tre parametri incogniti $a$, $b$ e $c$. Le situazioni tipiche sono: passaggio per tre punti assegnati, conoscenza di centro e raggio, oppure conoscenza del centro e di un punto appartenente alla curva. In ogni caso si imposta un sistema lineare nelle incognite $a$, $b$, $c$ sostituendo le coordinate dei punti nell'equazione generale. Talvolta una condizione geometrica, come l'appartenenza del centro a una retta data, fornisce vincoli aggiuntivi che semplificano i calcoli.
La posizione reciproca tra una retta e una circonferenza si studia risolvendo il sistema formato dalle due equazioni e analizzando il discriminante dell'equazione di secondo grado che ne deriva. Se il discriminante è positivo la retta è secante e taglia la curva in due punti distinti, se è nullo la retta è tangente in un solo punto, se è negativo la retta è esterna e non incontra la circonferenza. Un metodo alternativo, spesso più rapido, consiste nel confrontare la distanza del centro dalla retta con il raggio: distanza minore del raggio significa secante, uguale al raggio significa tangente, maggiore del raggio significa esterna. Le rette tangenti condotte da un punto esterno sono sempre due e si ricavano imponendo la condizione di tangenza, oppure usando la distanza centro-retta uguale al raggio.
Ricorda
- L'equazione $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2$ è la forma canonica, mentre $x^2+y^2+ax+by+c=0$ è la forma generale; le due si trasformano l'una nell'altra con calcoli algebrici.
- Centro e raggio dalla forma generale si trovano con $C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)$ e $r=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c}$, purché il radicando sia positivo.
- Per studiare retta e circonferenza confronta sempre la distanza del centro dalla retta con il raggio: è la via più veloce per riconoscere secante, tangente o esterna.
- Esercizio sul quaderno: data l'equazione $x^2+y^2+2x-8y+8=0$, determina centro e raggio, poi verifica se la retta $y=x+1$ è secante, tangente o esterna alla circonferenza.