La circonferenza è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro: nel piano cartesiano questa idea geometrica diventa una precisa equazione algebrica, e ogni cerchio disegnato sul foglio ha una sua carta d'identità fatta di numeri.
Dalla definizione all'equazione
Immagina di fissare un chiodo su una tavola di legno e di legarvi uno spago con una matita: muovendo la matita mantenendo lo spago teso disegni una circonferenza, perché ogni punto tracciato dista dal chiodo quanto la lunghezza dello spago. In linguaggio matematico, fissato un punto $C(\alpha, \beta)$ detto centro e un numero positivo $r$ detto raggio, la circonferenza è l'insieme dei punti $P(x, y)$ tali che $PC = r$. Per tradurre questa condizione in un'equazione usiamo la formula della distanza tra due punti: $\sqrt{(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2} = r$. Elevando entrambi i membri al quadrato otteniamo la cosiddetta forma canonica della circonferenza, cioè $(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2 = r^2$. Per esempio, la circonferenza con centro $C(2, -3)$ e raggio $5$ ha equazione $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$, e per verificare che un punto come $A(5, 1)$ le appartenga basta sostituire e controllare se l'uguaglianza è soddisfatta. In questo caso $(5-2)^2 + (1+3)^2 = 9 + 16 = 25$, quindi il punto $A$ appartiene davvero alla curva.
La forma generale e il passaggio inverso
Se sviluppiamo i quadrati nella forma canonica otteniamo un'equazione di secondo grado in $x$ e $y$, che riordinata diventa $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$: questa scrittura si chiama forma generale della circonferenza. Confrontando i coefficienti si ricavano le formule fondamentali $\alpha = -\frac{a}{2}$, $\beta = -\frac{b}{2}$ e $r = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2 - c}$. Per esempio, data l'equazione $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$, calcoliamo subito le coordinate del centro come $\alpha = 3$ e $\beta = -2$, e poi il raggio come $r = \sqrt{9 + 4 + 12} = \sqrt{25} = 5$. Attenzione però: un'equazione di secondo grado rappresenta davvero una circonferenza solo se i coefficienti dei termini $x^2$ e $y^2$ sono uguali, se manca il termine in $xy$ e soprattutto se la quantità $\alpha^2 + \beta^2 - c$ è strettamente positiva. Se questa quantità è nulla la curva si riduce a un solo punto, mentre se è negativa non esiste alcun insieme reale di soluzioni e parliamo di circonferenza immaginaria. Conoscere entrambe le forme è utile come saper leggere un indirizzo scritto in due modi diversi: lo stesso oggetto, due rappresentazioni complementari.
Determinare l'equazione da condizioni geometriche
Molto spesso il problema non ci consegna direttamente l'equazione ma alcune condizioni geometriche da cui ricavarla, e qui entra in gioco la nostra abilità di tradurre parole in formule. Se conosciamo centro e raggio scriviamo subito la forma canonica e abbiamo finito, ma se conosciamo il centro e un punto della circonferenza dobbiamo prima calcolare il raggio come distanza tra i due. Per esempio, se il centro è $C(1, 2)$ e la circonferenza passa per $P(4, 6)$, allora $r = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9+16} = 5$, e l'equazione diventa $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 25$. Se invece ci vengono dati gli estremi di un diametro, il centro è il punto medio del segmento e il raggio è metà della lunghezza del segmento stesso, perché ogni diametro passa per il centro. Una situazione classica è quella in cui dobbiamo trovare la circonferenza passante per tre punti non allineati: in tal caso conviene usare la forma generale con tre incognite $a$, $b$, $c$ e imporre il passaggio per i tre punti, ottenendo un sistema lineare di tre equazioni che si risolve con sostituzione o riduzione. Questo metodo funziona perché tre punti non allineati individuano in modo unico una circonferenza, esattamente come tre vertici fissano in modo unico un triangolo.
Posizioni reciproche tra retta e circonferenza
Una retta e una circonferenza nel piano possono incontrarsi in due punti, in un punto solo o non incontrarsi affatto, e questa distinzione si traduce in un calcolo algebrico molto pulito. Per studiarla mettiamo a sistema l'equazione della retta con quella della circonferenza, sostituiamo l'espressione di $y$ ricavata dalla retta nell'equazione della curva e otteniamo un'equazione di secondo grado in $x$, di cui calcoliamo il discriminante $\Delta$. Se $\Delta > 0$ la retta è secante e taglia la circonferenza in due punti distinti; se $\Delta = 0$ la retta è tangente e tocca la circonferenza in un unico punto; se $\Delta < 0$ la retta è esterna e non interseca affatto la curva. In alternativa, possiamo usare un metodo geometrico molto elegante: calcoliamo la distanza $d$ del centro dalla retta con la formula $d = \frac{|a\alpha + b\beta + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ e la confrontiamo con il raggio $r$. Per esempio, data la circonferenza $x^2 + y^2 = 25$ con centro nell'origine e raggio $5$, e la retta $3x + 4y - 25 = 0$, otteniamo $d = \frac{|0 + 0 - 25|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{25}{5} = 5$, esattamente uguale al raggio, quindi la retta è tangente alla circonferenza. Questo confronto geometrico è spesso più rapido del calcolo del discriminante e ci ricorda che ogni problema può essere affrontato con strumenti diversi.
Rette tangenti da un punto
Un problema particolarmente ricorrente è la ricerca delle rette tangenti a una circonferenza passanti per un punto $P_0(x_0, y_0)$ esterno, situazione che ha sempre due soluzioni geometriche distinte. Il metodo più diretto consiste nello scrivere il fascio proprio di rette per $P_0$ nella forma $y - y_0 = m(x - x_0)$, imporre la condizione di tangenza alla circonferenza e risolvere rispetto al coefficiente angolare $m$. La condizione di tangenza si può tradurre in due modi equivalenti: o imponendo $\Delta = 0$ nel sistema retta-circonferenza, oppure imponendo che la distanza del centro dalla retta sia uguale al raggio. Per esempio, cercando le tangenti alla circonferenza $x^2 + y^2 = 10$ condotte dal punto $P_0(4, 2)$, scriviamo la retta come $y - 2 = m(x - 4)$, cioè $mx - y + 2 - 4m = 0$, e imponiamo $\frac{|2 - 4m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{10}$. Elevando al quadrato e risolvendo otteniamo un'equazione di secondo grado in $m$ le cui due soluzioni forniscono i coefficienti angolari delle due tangenti cercate. Bisogna ricordare un caso speciale: se una delle tangenti è parallela all'asse delle ordinate non ha coefficiente angolare e va cercata a parte nella forma $x = x_0$, altrimenti rischiamo di perderla.
Ricorda
Ecco i punti fondamentali da fissare in mente: la forma canonica $(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2 = r^2$ legge subito centro e raggio, mentre dalla forma generale $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ si ricavano centro $C\left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right)$ e raggio $r = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{4} - c}$, purché la quantità sotto radice sia positiva. Per le posizioni reciproche con una retta, confronta sempre la distanza $d$ del centro dalla retta con il raggio $r$: secante se $d < r$, tangente se $d = r$, esterna se $d > r$. Tre punti non allineati individuano una sola circonferenza, e per trovarla si imposta un sistema con la forma generale. Ora prova tu sul quaderno: data l'equazione $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$, determina centro e raggio della circonferenza; poi scrivi l'equazione della circonferenza con centro nel punto trovato e raggio doppio del precedente; infine verifica se il punto $Q(6, -3)$ appartiene a quest'ultima curva, motivando la risposta con i calcoli.