L'ellisse e l'iperbole sono due coniche definite da una proprietà focale: la prima come luogo dei punti con somma delle distanze costante, la seconda come luogo dei punti con differenza in valore assoluto costante.
Nel piano cartesiano studiamo le coniche partendo dai loro fuochi, che sono due punti speciali capaci di descriverne la forma in modo elegante. Quando fissiamo due fuochi e una distanza, otteniamo curve diverse a seconda della regola che imponiamo sui punti. L'ellisse nasce da una condizione di somma costante, mentre l'iperbole nasce da una condizione di differenza costante in modulo. Comprendere queste due curve significa saper passare con disinvoltura tra la loro definizione geometrica e le equazioni che le rappresentano in forma canonica. Ti accorgerai che molte proprietà dell'iperbole rispecchiano, con un cambio di segno, quelle dell'ellisse.
L'ellisse: definizione, equazione e parametri
L'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per cui la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante e maggiore della distanza tra i fuochi stessi. Se chiamiamo $F_1$ e $F_2$ i fuochi e $2a$ la somma costante, ogni punto $P$ dell'ellisse soddisfa la relazione $PF_1 + PF_2 = 2a$. Quando i fuochi giacciono sull'asse delle ascisse, simmetrici rispetto all'origine, otteniamo l'equazione canonica $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, con $a > b > 0$. Il numero $a$ rappresenta il semiasse maggiore, $b$ il semiasse minore, e la distanza focale $c$ è legata agli altri parametri dalla relazione $c^2 = a^2 - b^2$.
Un indicatore molto utile è l'eccentricità, definita come $e = c/a$, che misura quanto l'ellisse si discosta dalla forma circolare. Per l'ellisse vale $0 \le e < 1$: quando $e = 0$ i fuochi coincidono e otteniamo una circonferenza, mentre per $e$ vicino a $1$ la curva appare molto schiacciata. Considera per esempio l'ellisse di equazione $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$: qui $a = 5$, $b = 3$, dunque $c = \sqrt{25-9} = 4$, i fuochi sono $F_1(-4,0)$ e $F_2(4,0)$ e l'eccentricità vale $e = 4/5 = 0{,}8$. I vertici sull'asse maggiore sono $(\pm 5, 0)$, quelli sull'asse minore $(0, \pm 3)$, e qualunque punto della curva ha somma delle distanze dai fuochi pari a $10$.
L'iperbole: definizione, equazione e asintoti
L'iperbole è il luogo dei punti del piano per cui il valore assoluto della differenza delle distanze da due fuochi è una costante positiva minore della distanza focale. Indicando con $2a$ tale differenza costante, ogni punto $P$ soddisfa $|PF_1 - PF_2| = 2a$, e l'equazione canonica con fuochi sull'asse delle ascisse è $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$. Qui la relazione tra i parametri cambia segno e diventa $c^2 = a^2 + b^2$, perché ora la distanza focale è maggiore del semiasse trasverso $a$. La curva risulta formata da due rami separati che si aprono verso l'esterno, simmetrici rispetto a entrambi gli assi cartesiani.
Una caratteristica distintiva dell'iperbole sono i suoi asintoti, le due rette che la curva avvicina indefinitamente senza mai toccare. Nella forma canonica con i fuochi sull'asse $x$, le equazioni degli asintoti sono $y = \pm \frac{b}{a} x$, e disegnarli aiuta a tracciare il grafico con precisione. L'eccentricità si definisce ancora come $e = c/a$, ma in questo caso vale sempre $e > 1$: più $e$ è grande, più i rami dell'iperbole si aprono. Se i fuochi sono invece sull'asse $y$, l'equazione canonica diventa $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$, e i vertici si trovano sull'asse delle ordinate anziché su quello delle ascisse.
Ricorda
- Per l'ellisse: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ con $a > b$, relazione $c^2 = a^2 - b^2$ ed eccentricità $0 \le e < 1$.
- Per l'iperbole: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, relazione $c^2 = a^2 + b^2$, asintoti $y = \pm \frac{b}{a} x$ ed eccentricità $e > 1$.
- Verifica sul quaderno: data l'iperbole $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$, scrivi i valori di $a$, $b$ e $c$, le coordinate dei vertici e dei fuochi e le equazioni dei due asintoti.