Introduzione: due curve nate dal cono
L'ellisse e l'iperbole sono due coniche che descrivono fenomeni naturali e tecnologici, dalle orbite dei pianeti alla forma dei riflettori parabolici.
Immagina di tagliare un cono gelato con un coltello: a seconda dell'inclinazione del taglio, ottieni curve diverse. Se tagli in modo obliquo ma chiuso, ottieni un'ellisse, simile a un cerchio schiacciato. Se invece tagli parallelamente all'asse del cono, attraversando entrambe le falde, ottieni un'iperbole, formata da due rami distinti. Queste curve, studiate fin dall'antichità da Apollonio di Perga, governano oggi il moto dei satelliti, la progettazione delle antenne paraboliche e persino la forma delle torri di raffreddamento delle centrali. In questa lezione vedremo come definirle, come riconoscerne l'equazione e come ricavarne gli elementi caratteristici.
L'ellisse: definizione ed equazione canonica
L'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante. Se chiamiamo i fuochi F1 e F2 e prendiamo un punto P qualsiasi sulla curva, vale la relazione PF1 + PF2 = 2a, dove 2a è una lunghezza fissata maggiore della distanza tra i fuochi. Puoi visualizzare questa proprietà con un esperimento casalingo: fissa due puntine su un cartoncino, lega un filo ai due chiodini e, tenendo la matita tesa contro il filo, traccia una curva chiusa: otterrai un'ellisse perfetta. L'equazione canonica, riferita a un sistema di assi cartesiani con centro nell'origine e fuochi sull'asse x, è x²/a² + y²/b² = 1, dove a e b sono i semiassi. Tra i parametri vale la relazione fondamentale c² = a² - b², dove c rappresenta la semidistanza focale, cioè la distanza dal centro a ciascun fuoco. Il rapporto e = c/a, sempre compreso tra 0 e 1, si chiama eccentricità e misura quanto l'ellisse è schiacciata rispetto a un cerchio.
Vertici, fuochi ed eccentricità dell'ellisse
I vertici dell'ellisse sono i quattro punti in cui la curva incontra gli assi cartesiani: A(a,0), A'(-a,0), B(0,b), B'(0,-b). Quando a è maggiore di b, l'asse maggiore giace sull'asse x e i fuochi hanno coordinate F1(c,0) e F2(-c,0); viceversa, se b è maggiore di a, l'asse maggiore è verticale e i fuochi si trovano sull'asse y in posizione (0,±c) con c² = b² - a². Per esempio, l'ellisse di equazione x²/25 + y²/9 = 1 ha a = 5, b = 3 e c = √(25-9) = 4, quindi i fuochi sono F(±4, 0) e l'eccentricità vale 4/5 = 0,8. Un'eccentricità vicina a zero indica una curva quasi circolare, mentre un valore prossimo a uno descrive un'ellisse molto allungata, come l'orbita della cometa di Halley. Anche le orbite planetarie, secondo la prima legge di Keplero, sono ellissi con il Sole in uno dei due fuochi, e questo spiega perché l'eccentricità è un parametro cruciale in astronomia.
L'iperbole: definizione ed equazione canonica
L'iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali la differenza, in valore assoluto, delle distanze da due fuochi è costante e uguale a 2a. Si tratta quindi di una definizione simmetrica a quella dell'ellisse, in cui però la somma è sostituita dalla differenza. L'equazione canonica con fuochi sull'asse x è x²/a² - y²/b² = 1, dove a e b sono numeri positivi legati dalla relazione c² = a² + b². Diversamente dall'ellisse, qui c è sempre maggiore sia di a sia di b, e i fuochi sono più esterni rispetto ai vertici. La curva è formata da due rami aperti che si estendono all'infinito: il ramo di destra contiene il vertice A(a,0) e il fuoco F1(c,0), mentre il ramo di sinistra contiene A'(-a,0) e F2(-c,0). Se invece l'equazione è nella forma x²/a² - y²/b² = -1, i fuochi si trovano sull'asse y, i vertici sono (0,±b) e i rami si aprono verso l'alto e verso il basso.
Asintoti, eccentricità e iperbole equilatera
Una caratteristica fondamentale dell'iperbole è la presenza degli asintoti, due rette di equazione y = ±(b/a)x, alle quali i rami della curva si avvicinano indefinitamente senza mai toccarle. Per disegnare correttamente un'iperbole conviene quindi tracciare prima il rettangolo di vertici (±a, ±b) e poi le sue diagonali prolungate, che sono appunto gli asintoti. Anche per l'iperbole si definisce l'eccentricità come e = c/a, ma in questo caso è sempre maggiore di 1, perché c supera sempre a. Un caso particolare è l'iperbole equilatera, in cui a = b: i suoi asintoti sono le bisettrici dei quadranti, l'equazione si semplifica in x² - y² = a² e l'eccentricità vale √2. Se ruotiamo gli assi di 45° rispetto agli asintoti, l'iperbole equilatera assume la forma xy = k, dove k è una costante: è l'equazione che descrive, per esempio, la legge di Boyle sui gas perfetti a temperatura costante, in cui pressione e volume sono inversamente proporzionali.
Ricorda
I punti chiave da fissare bene in mente sono i seguenti:
- L'ellisse è il luogo dei punti la cui somma delle distanze dai fuochi è costante, equazione canonica x²/a² + y²/b² = 1, relazione c² = a² - b² (se a > b), eccentricità 0 < e < 1.
- L'iperbole è il luogo dei punti la cui differenza in modulo delle distanze dai fuochi è costante, equazione x²/a² - y²/b² = ±1, relazione c² = a² + b², eccentricità e > 1.
- L'iperbole possiede asintoti di equazione y = ±(b/a)x, che l'ellisse non ha perché è una curva chiusa.
- L'iperbole equilatera ha a = b, asintoti perpendicolari e, riferita ai propri asintoti, equazione xy = k.
Ora prendi il quaderno e svolgi questo piccolo esercizio di verifica: data l'equazione 9x² + 25y² = 225, riscrivila in forma canonica, individua i semiassi a e b, calcola la semidistanza focale c, scrivi le coordinate dei fuochi e dei vertici, e determina infine l'eccentricità. Confronta poi il risultato con il caso dell'iperbole 9x² - 25y² = 225 e osserva quali elementi cambiano radicalmente e quali invece restano simili.