Una equazione di secondo grado è una uguaglianza in cui l'incognita x compare elevata al quadrato. La sua forma generale è ax² + bx + c = 0, con a diverso da zero, e si risolve grazie a una formula specifica detta formula risolutiva.
In classe prima hai imparato a risolvere le equazioni di primo grado, dove l'incognita appariva soltanto alla prima potenza. Ora il discorso si fa più ricco: introduciamo equazioni in cui x compare anche al quadrato, cioè elevata a due. Queste equazioni descrivono moltissimi fenomeni reali, dal moto di un oggetto lanciato in aria al calcolo dell'area di un terreno. Comprenderle significa avere uno strumento potente per risolvere problemi di geometria, fisica ed economia. Vedremo come riconoscerle, come scriverle nella forma corretta e come trovarne le soluzioni in modo sicuro.
Forma generale e coefficienti
Una equazione di secondo grado si presenta sempre, dopo le opportune semplificazioni, nella cosiddetta forma canonica ax² + bx + c = 0. Qui a, b e c sono numeri reali chiamati coefficienti, e la condizione fondamentale è che a sia diverso da zero, altrimenti il termine in x² scomparirebbe. Il coefficiente a moltiplica il termine quadratico, b moltiplica il termine lineare e c è il termine noto, cioè quello senza la lettera x. Riconoscere correttamente questi tre numeri è il primo passo, perché senza di essi non possiamo applicare alcuna procedura risolutiva. Attenzione ai segni: se l'equazione è scritta nella forma 3x² − 5x + 2 = 0, allora a vale 3, b vale meno cinque e c vale due. Quando l'equazione non è già in forma canonica, prima la si riordina portando tutto al primo membro e raccogliendo i termini simili.
La formula risolutiva e il discriminante
Per trovare i valori di x che soddisfano l'equazione si utilizza la celebre formula risolutiva, che si scrive x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). La quantità sotto la radice, cioè b² − 4ac, prende il nome di discriminante e si indica spesso con la lettera greca delta (Δ). Il discriminante è preziosissimo perché ci dice in anticipo quante soluzioni avrà l'equazione, senza bisogno di completare il calcolo. Se Δ è maggiore di zero, l'equazione ha due soluzioni reali e distinte; se Δ è uguale a zero, ha una sola soluzione reale, detta doppia o coincidente; se Δ è minore di zero, l'equazione non ammette soluzioni reali. Vediamo un esempio concreto: data l'equazione x² − 5x + 6 = 0, abbiamo a = 1, b = −5, c = 6, quindi Δ = 25 − 24 = 1. Applicando la formula otteniamo x = (5 ± 1) / 2, da cui le due soluzioni x₁ = 3 e x₂ = 2, che possiamo verificare sostituendole nell'equazione di partenza.
Ricorda
- La forma canonica di una equazione di secondo grado è ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0; identifica sempre con cura i tre coefficienti rispettando i segni.
- La formula risolutiva è x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) e il segno del discriminante Δ = b² − 4ac determina il numero di soluzioni reali.
- Esercizio attivo sul quaderno: risolvi l'equazione 2x² − 7x + 3 = 0 calcolando prima il discriminante, poi applicando la formula risolutiva, e infine verifica le due soluzioni sostituendole nell'equazione originale.