Una equazione di secondo grado è una uguaglianza in cui l'incognita compare elevata al quadrato; la sua forma generale è ax² + bx + c = 0 e si risolve con la formula risolutiva, che fornisce fino a due soluzioni reali.
Che cos'è una equazione di secondo grado
Una equazione si dice di secondo grado quando, dopo averla ridotta in forma normale, contiene l'incognita x elevata al quadrato e non a potenze superiori. La forma generale, detta anche forma canonica, è ax² + bx + c = 0, dove a, b, c sono numeri reali e a deve essere diverso da zero. Se a fosse zero l'equazione diventerebbe lineare e perderebbe il suo carattere quadratico, quindi la condizione a ≠ 0 è fondamentale e va sempre verificata prima di iniziare. Il numero a si chiama coefficiente del termine di secondo grado, b è il coefficiente del termine di primo grado e c è il termine noto, cioè la parte numerica senza incognita. Riconoscere queste tre lettere nella propria equazione è il primo passo: senza una identificazione corretta non si può applicare alcun metodo risolutivo. Per esempio, in 2x² − 5x + 3 = 0 abbiamo a = 2, b = −5 e c = 3, mentre in x² + 4x = 0 i coefficienti sono a = 1, b = 4 e c = 0.
Un altro esempio quotidiano è il calcolo dell'area di un rettangolo di cui conosciamo perimetro e superficie: se chiamiamo x la base, l'altezza diventa una espressione che contiene x, e moltiplicandole otteniamo proprio una equazione di secondo grado. Una situazione analoga capita quando si lancia un sasso verso l'alto: la quota raggiunta nel tempo dipende dal quadrato del tempo trascorso, e domandarsi quando il sasso tocca il suolo significa risolvere proprio una equazione del tipo che stiamo studiando.
Le equazioni incomplete
Quando uno dei coefficienti b o c è uguale a zero l'equazione si dice incompleta e può essere risolta con metodi più rapidi della formula generale, sfruttando proprietà algebriche elementari. Se manca il termine noto, cioè c = 0, l'equazione assume la forma ax² + bx = 0 e si risolve mettendo in evidenza la x, ottenendo x(ax + b) = 0; per la legge di annullamento del prodotto una soluzione è x = 0 e l'altra è x = −b/a. Se invece manca il termine di primo grado, cioè b = 0, l'equazione diventa ax² + c = 0, da cui si ricava x² = −c/a e, se il secondo membro è positivo, le soluzioni sono opposte: x = ±√(−c/a). Quando mancano entrambi i termini intermedi resta solo ax² = 0, che ha l'unica soluzione doppia x = 0, semplice ma istruttiva.
Per esempio, l'equazione 3x² − 12x = 0 si scompone subito in 3x(x − 4) = 0, che dà x = 0 oppure x = 4, senza bisogno di calcoli più lunghi. Allo stesso modo 2x² − 50 = 0 diventa x² = 25 e quindi x = ±5, due valori che potrebbero rappresentare la lunghezza del lato di un quadrato di area 25 confrontato con il suo opposto.
La formula risolutiva
Quando l'equazione è completa, cioè quando a, b e c sono tutti diversi da zero, occorre ricorrere alla formula risolutiva, che fornisce direttamente le soluzioni in funzione dei tre coefficienti. La formula si scrive x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) e va imparata a memoria perché è lo strumento principale di tutto il capitolo. Il simbolo ± indica che esistono due possibili soluzioni, una con il segno più e una con il segno meno davanti alla radice quadrata. La quantità sotto la radice, cioè b² − 4ac, ha un nome speciale, discriminante, e si indica con la lettera greca Δ, perciò la formula può anche essere scritta come x = (−b ± √Δ) / (2a).
Applichiamo la formula a x² − 5x + 6 = 0, dove a = 1, b = −5 e c = 6: il discriminante vale 25 − 24 = 1, la sua radice è 1, e quindi x = (5 ± 1)/2, ottenendo x = 3 oppure x = 2. Un secondo esempio è 2x² + 3x − 2 = 0: il discriminante è 9 + 16 = 25, la sua radice è 5 e le soluzioni sono x = (−3 + 5)/4 = 1/2 e x = (−3 − 5)/4 = −2.
Il discriminante e il numero di soluzioni
Il valore del discriminante Δ = b² − 4ac decide quante soluzioni reali ha l'equazione e fornisce informazioni importanti senza bisogno di completare il calcolo. Se Δ è positivo l'equazione ha due soluzioni reali e distinte, perché la radice quadrata di un numero positivo è un numero reale che, combinato con il segno ±, produce due valori diversi. Se Δ è nullo l'equazione ha una sola soluzione, detta soluzione doppia o coincidente, perché il segno ± davanti allo zero non cambia il risultato. Se Δ è negativo l'equazione non ammette soluzioni reali, perché nei numeri reali non esiste la radice quadrata di un numero negativo, e in classe seconda ci si ferma a questa conclusione.
Per esempio, l'equazione x² − 6x + 9 = 0 ha Δ = 36 − 36 = 0 e fornisce la sola soluzione x = 3, che corrisponde geometricamente al quadrato perfetto (x − 3)² = 0. Invece x² + x + 1 = 0 ha Δ = 1 − 4 = −3, valore negativo, e quindi non ammette soluzioni reali: nessun numero reale, elevato al quadrato e sommato a se stesso e a uno, può dare zero.
Le relazioni tra coefficienti e soluzioni
Una proprietà molto elegante e utile riguarda il legame tra le soluzioni x₁ e x₂ di una equazione di secondo grado e i suoi coefficienti, ed è nota come formule di Viète. La somma delle due soluzioni è uguale a −b/a, mentre il loro prodotto è uguale a c/a, e queste due uguaglianze permettono spesso di trovare le soluzioni a mente quando i numeri sono semplici. Se l'equazione è già nella forma x² + sx + p = 0, con coefficiente di x² uguale a uno, la somma delle soluzioni è −s e il prodotto è p, una versione ancora più snella delle stesse formule. Questo metodo è chiamato anche scomposizione del trinomio, perché permette di scrivere x² + sx + p come (x − x₁)(x − x₂) quando si riconoscono due numeri con somma e prodotto giusti.
Per esempio, in x² − 7x + 12 = 0 cerchiamo due numeri la cui somma sia 7 e il cui prodotto sia 12, e troviamo subito 3 e 4, che sono le soluzioni. Un altro esempio è x² + x − 6 = 0, dove cerchiamo due numeri con somma −1 e prodotto −6: sono −3 e 2, e in pochi secondi abbiamo risolto l'equazione senza scomodare la formula.
Problemi che si risolvono con una equazione di secondo grado
Molti problemi della vita quotidiana e della geometria si traducono in equazioni di secondo grado, e imparare a riconoscerli è una competenza fondamentale di questa parte del programma. Il procedimento generale prevede sei passi ordinati che conviene rispettare con cura per non perdersi.
- Leggere il testo e individuare la grandezza incognita, chiamandola x.
- Esprimere le altre grandezze del problema in funzione di x.
- Tradurre le condizioni del testo in una uguaglianza.
- Portare l'equazione nella forma ax² + bx + c = 0.
- Risolvere l'equazione con la formula o con i metodi delle equazioni incomplete.
- Verificare che le soluzioni siano accettabili nel contesto del problema.
Per esempio, se cerchiamo due numeri naturali consecutivi il cui prodotto sia 156, chiamando il primo x scriviamo x(x + 1) = 156, cioè x² + x − 156 = 0, le cui soluzioni sono 12 e −13; accettiamo solo 12, e l'altro numero è 13. Un secondo esempio è un rettangolo con perimetro 40 cm e area 96 cm²: detta x la base, l'altezza è 20 − x e si scrive x(20 − x) = 96, da cui x² − 20x + 96 = 0, con soluzioni 12 e 8, entrambe accettabili e che rappresentano le due dimensioni del rettangolo.
Un approfondimento sulla scomposizione del trinomio
La formula risolutiva è importante anche perché permette di scomporre ogni trinomio di secondo grado in fattori di primo grado, collegando il calcolo letterale e lo studio delle equazioni in modo profondo. Se l'equazione ax² + bx + c = 0 ha soluzioni x₁ e x₂, allora vale l'identità ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), e questa scomposizione è utile per semplificare frazioni algebriche, risolvere disequazioni e studiare grafici di funzioni nel triennio. Se invece il discriminante è negativo il trinomio non è scomponibile nell'insieme dei numeri reali, e questa è una informazione importante quando si lavora con le frazioni algebriche o si cerca di semplificare una espressione.
Per esempio, 2x² − 6x + 4 ha soluzioni x = 1 e x = 2, quindi si scompone come 2(x − 1)(x − 2), una forma molto più maneggevole della scrittura originale. Anche x² − 9 si scompone come (x − 3)(x + 3), perché le soluzioni di x² − 9 = 0 sono 3 e −3, ed è infatti la classica differenza di quadrati che già conosciamo da prima.
Ricorda
I punti chiave da fissare con cura sono questi:
- Una equazione è di secondo grado se contiene x² ed è nella forma ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0.
- Se b = 0 oppure c = 0 l'equazione è incompleta e si risolve con metodi rapidi senza usare la formula generale.
- La formula risolutiva è x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) e va sempre saputa a memoria.
- Il discriminante Δ = b² − 4ac stabilisce il numero di soluzioni: due se Δ > 0, una doppia se Δ = 0, nessuna reale se Δ < 0.
- La somma delle soluzioni è −b/a e il loro prodotto è c/a, formule utilissime per i controlli e per la scomposizione.
Piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: risolvi l'equazione x² − 8x + 15 = 0 in due modi diversi, prima con la formula risolutiva e poi cercando due numeri con somma 8 e prodotto 15; poi calcola somma e prodotto delle soluzioni trovate e verifica che coincidano con −b/a e c/a. Infine, scomponi il trinomio x² − 8x + 15 nel prodotto di due fattori di primo grado usando le soluzioni ottenute.