I radicali estendono le potenze a esponente frazionario e permettono di lavorare con numeri irrazionali in forma esatta, senza ricorrere ad approssimazioni decimali.
Quando in prima abbiamo studiato i quadrati e i cubi, abbiamo imparato a passare da un numero alla sua potenza; il radicale compie il percorso inverso, cioè domanda quale numero, elevato a un certo esponente, restituisce il valore sotto la radice. La scrittura generale è una radice n-esima di un radicando, dove l'indice indica il tipo di operazione inversa che stiamo eseguendo. Capire bene le condizioni di esistenza e le proprietà dei radicali è essenziale, perché questi oggetti ricompaiono in geometria analitica, in trigonometria e nello studio delle equazioni di secondo grado. In questa scheda concentriamo l'attenzione sulle radici aritmetiche, cioè quelle definite nei numeri reali non negativi, distinguendole però dal caso in cui l'indice è dispari. L'obiettivo è acquisire automatismi solidi nel semplificare, trasportare, moltiplicare, dividere e razionalizzare, mantenendo sempre il controllo delle condizioni di esistenza.
Definizione, esistenza e proprietà invariantiva
La radice n-esima di un numero a è quel numero b che, elevato alla n, dà a; se l'indice è pari, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero perché in R non esiste un numero che, elevato al quadrato, produca un risultato negativo. Se invece l'indice è dispari, il radicando può assumere qualunque segno e la radice ne conserva il segno originario, perciò la radice cubica di meno otto vale meno due. Quando il radicando contiene una lettera, prima di operare bisogna sempre scrivere le condizioni di esistenza, che per indice pari traducono la disuguaglianza radicando maggiore o uguale a zero. La proprietà fondamentale che semplifica gran parte dei calcoli è la invariantiva: moltiplicando o dividendo per uno stesso numero non nullo sia l'indice della radice sia l'esponente del radicando, il valore non cambia. Grazie a questa regola possiamo ridurre due radicali allo stesso indice e poi confrontarli, sommarli o moltiplicarli senza errori. L'altra conseguenza importante è la possibilità di passare dalla forma radicale a quella con esponente frazionario, scrivendo radice n-esima di a alla m come a elevato a m fratto n.
Operazioni e razionalizzazione
Due radicali si possono moltiplicare o dividere direttamente solo se hanno lo stesso indice, e in quel caso si moltiplicano o dividono i radicandi lasciando l'indice comune; se gli indici sono diversi si applica prima la proprietà invariantiva. Per la somma e la sottrazione invece non esiste una formula generale: si possono sommare soltanto radicali simili, cioè quelli che, una volta semplificati, hanno stesso indice e stesso radicando, e in quel caso si sommano i coefficienti esterni. Il trasporto fuori dalla radice consiste nello scomporre il radicando in fattori primi e nel portare fuori ogni fattore il cui esponente raggiunge l'indice della radice, mentre il trasporto dentro segue il cammino opposto e richiede attenzione al segno quando l'indice è pari. La razionalizzazione serve a eliminare le radici dal denominatore di una frazione, perché la forma con denominatore razionale è considerata standard e facilita i confronti numerici. Vediamo un esempio concreto: per razionalizzare uno fratto radice di due, moltiplichiamo numeratore e denominatore per radice di due e otteniamo radice di due fratto due, espressione più maneggevole della precedente. Quando il denominatore è una somma del tipo a più radice di b si moltiplica invece per il binomio coniugato a meno radice di b, sfruttando il prodotto notevole somma per differenza.
Ricorda
- Per indice pari il radicando deve essere non negativo; per indice dispari può avere qualunque segno e la radice ne conserva il segno.
- La proprietà invariantiva permette di moltiplicare o dividere indice ed esponente del radicando per lo stesso numero non nullo, ed è la chiave per ridurre allo stesso indice.
- Si sommano soltanto i radicali simili, mentre per moltiplicare o dividere serve avere lo stesso indice; per togliere le radici dal denominatore si moltiplica per un opportuno fattore razionalizzante.
Verifica attiva sul quaderno: semplifica l'espressione radice di settantacinque più radice di dodici meno radice di quarantotto, portando fuori dalla radice tutti i fattori possibili e poi sommando i radicali simili; controlla il risultato confrontandolo con l'approssimazione decimale ottenuta con la calcolatrice.