I radicali estendono l'idea di radice quadrata a indici qualsiasi e permettono di scrivere in forma esatta numeri che, in forma decimale, sarebbero infiniti e non periodici.
Dalla radice quadrata al radicale generale
In prima avete imparato che la radice quadrata di 9 è 3, perché 3 elevato al quadrato dà proprio 9. Quest'anno generalizziamo questa idea introducendo il radicale di indice qualsiasi, scritto nella forma con un piccolo numero davanti al simbolo di radice. La scrittura indica quel numero che, elevato all'indice, restituisce il radicando: per esempio la radice cubica di 8 vale 2, perché 2 elevato alla terza fa 8. Pensa al volume di un cubetto da gioco di 27 cm³: per trovare lo spigolo devi calcolare la radice cubica, ottenendo 3 cm. L'indice ci dice quante volte moltiplicare il risultato per se stesso, mentre il radicando è il numero di partenza da cui estraiamo la radice. Quando l'indice è 2 lo si omette per tradizione, ma resta sottinteso in ogni scrittura del tipo radice di un numero.
Condizioni di esistenza e segno del radicale
Per lavorare con sicurezza sui radicali bisogna distinguere subito due casi a seconda che l'indice sia pari o dispari. Se l'indice è pari, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero, perché nessun numero reale elevato a una potenza pari può dare un risultato negativo. Se invece l'indice è dispari, il radicando può assumere qualsiasi valore reale, comprese le quantità negative: la radice cubica di meno 64, per esempio, vale meno 4. Questa distinzione è fondamentale quando il radicando contiene una lettera, perché dobbiamo scrivere le condizioni di esistenza prima di operare. Immagina di calcolare la radice quadrata di una variabile che rappresenta il tempo: poiché il tempo non può essere negativo, la condizione è automaticamente rispettata nel problema. Ricorda inoltre che il risultato di una radice di indice pari, per convenzione, è sempre il valore positivo, detto valore aritmetico. Per questo motivo la radice quadrata di x al quadrato non è semplicemente x, ma il valore assoluto di x.
La proprietà invariantiva e la semplificazione
La proprietà invariantiva afferma che il valore di un radicale non cambia se moltiplichiamo o dividiamo per uno stesso numero naturale sia l'indice della radice sia l'esponente del radicando. Questa regola è lo strumento che permette di semplificare un radicale, riducendolo a una forma più compatta e leggibile. Consideriamo la radice sesta di 4 elevato alla terza: dividendo per 3 sia l'indice sia l'esponente otteniamo la radice quadrata di 4, cioè 2. Allo stesso modo possiamo ridurre due radicali a un indice comune, esattamente come si fa con le frazioni quando si cerca il denominatore comune. È un po' come ingrandire o rimpicciolire una fotografia con uno zoom proporzionale: la figura resta la stessa, cambia solo la scala con cui la rappresentiamo. Grazie alla proprietà invariantiva possiamo quindi confrontare radicali di indici diversi senza ricorrere alla calcolatrice.
Operazioni con i radicali
Le operazioni tra radicali seguono regole precise che dipendono dal tipo di operazione. Per moltiplicare o dividere due radicali con lo stesso indice basta moltiplicare o dividere i radicandi, mantenendo l'indice comune: per esempio la radice di 6 moltiplicata per la radice di 10 dà la radice di 60. Se gli indici sono diversi, prima dobbiamo ricondurli a un indice comune usando la proprietà invariantiva e poi procedere con il calcolo. Il trasporto di un fattore fuori dal segno di radice si fa quando il radicando contiene una potenza con esponente maggiore o uguale all'indice, sfruttando la stessa regola al contrario. Pensa a un costruttore che deve calcolare la diagonale di una piastrella quadrata di lato 5: ottiene la radice di 50, che diventa 5 per radice di 2, una forma molto più pratica da utilizzare. Le potenze di radicali si calcolano elevando il radicando alla potenza richiesta, mentre la radice di radice si ottiene moltiplicando gli indici tra loro.
Addizioni, sottrazioni e razionalizzazione
Due radicali si possono sommare o sottrarre soltanto se sono simili, cioè se hanno lo stesso indice e lo stesso radicando dopo la semplificazione. La somma tra radice di 2 e radice di 3, per esempio, resta indicata così com'è perché i radicandi sono diversi e non riducibili. Spesso, però, una semplificazione preliminare rivela una somiglianza nascosta: radice di 8 più radice di 18 diventa 2 radice di 2 più 3 radice di 2, quindi 5 radice di 2. La razionalizzazione del denominatore consiste invece nell'eliminare i radicali dal denominatore di una frazione, moltiplicando numeratore e denominatore per un opportuno fattore. Se al denominatore compare una sola radice quadrata, basta moltiplicare per quella stessa radice; se compare una somma o una differenza di radicali, si usa il coniugato sfruttando il prodotto notevole della somma per differenza. Questa tecnica è particolarmente utile in fisica, dove le formule devono essere scritte in modo che il denominatore sia un numero razionale.
Ricorda
- Un radicale di indice pari esiste solo se il radicando è maggiore o uguale a zero, mentre uno di indice dispari esiste sempre.
- La proprietà invariantiva permette di moltiplicare o dividere indice ed esponente per uno stesso numero senza alterare il valore.
- Moltiplicazione e divisione tra radicali richiedono lo stesso indice; addizione e sottrazione richiedono anche lo stesso radicando.
- Per portare un fattore fuori dalla radice, l'esponente nel radicando deve essere almeno pari all'indice.
- Razionalizzare significa rendere razionale il denominatore moltiplicando per un fattore opportuno o per il coniugato.
Piccolo esercizio di verifica: sul tuo quaderno, semplifica l'espressione radice di 75 meno radice di 12 più radice di 48, riducendo ogni radicale alla forma minima e poi sommando i termini simili. Scrivi tutti i passaggi e indica il risultato finale; ti accorgerai che le tre radici, apparentemente diverse, diventano tutte multipli di radice di 3.