I polinomi sono espressioni algebriche che permettono di tradurre situazioni reali in formule, così da calcolare, prevedere e confrontare grandezze come aree, costi e percorsi.
Un polinomio è una somma algebrica di monomi, cioè di espressioni formate dal prodotto fra un numero, detto coefficiente, e una o più lettere elevate a esponenti naturali. Quando i monomi che lo compongono non sono simili fra loro, il polinomio si dice ridotto e ogni suo termine porta un'informazione distinta sulla grandezza che stiamo descrivendo. Il grado di un polinomio è il più alto fra i gradi dei suoi monomi, e ci dice quanto rapidamente la quantità rappresentata cresce al variare delle lettere. Un polinomio con un solo termine si chiama monomio, con due binomio, con tre trinomio, e questa terminologia ci aiuta a riconoscerne subito la struttura. I polinomi servono a modellare la realtà perché molte leggi della fisica, dell'economia e della geometria si scrivono naturalmente in questa forma. Imparare a maneggiarli significa quindi acquisire uno strumento di traduzione fra il linguaggio delle parole e quello dei numeri.
Operazioni fra polinomi
La somma e la differenza di due polinomi si eseguono sommando algebricamente i monomi simili, cioè quelli che hanno la stessa parte letterale con gli stessi esponenti. Se i termini non sono simili, restano semplicemente affiancati nel risultato, perché non possono essere fusi in un'unica espressione più compatta. Per moltiplicare un polinomio per un monomio si applica la proprietà distributiva, moltiplicando il monomio per ciascun termine del polinomio e sommando poi i risultati ottenuti. Per moltiplicare due polinomi si moltiplica ogni termine del primo per ogni termine del secondo, riducendo infine i monomi simili che compaiono nella somma finale. È fondamentale ricordare la regola dei segni e la regola degli esponenti, perché un errore in uno solo dei passaggi compromette l'intero calcolo finale. Consideriamo un esempio concreto: se il lato di un quadrato misura (x + 3) cm, la sua area si ottiene moltiplicando (x + 3) per sé stesso, ovvero (x + 3)(x + 3) = x² + 3x + 3x + 9 = x² + 6x + 9, un trinomio di secondo grado che esprime l'area in funzione del lato.
Prodotti notevoli e modellizzazione
Alcuni prodotti fra polinomi compaiono talmente spesso da meritare un nome e una formula da memorizzare: sono i cosiddetti prodotti notevoli, che permettono scorciatoie di calcolo molto efficaci. Il quadrato di un binomio (a + b)² è uguale ad a² + 2ab + b², mentre (a − b)² vale a² − 2ab + b², e la differenza sta soltanto nel segno del doppio prodotto centrale. La somma per differenza (a + b)(a − b) dà invece a² − b², una formula utilissima per semplificare calcoli numerici come 102 · 98 = (100 + 2)(100 − 2) = 10000 − 4 = 9996. Il cubo di un binomio (a + b)³ si sviluppa in a³ + 3a²b + 3ab² + b³, e va distinto con cura dal semplice a³ + b³, che non è affatto equivalente. Queste formule diventano potenti strumenti di modellizzazione quando si descrivono fenomeni in cui una grandezza cambia di poco rispetto a un valore di riferimento. Il valore numerico di un polinomio, infine, si ottiene sostituendo alle lettere i numeri assegnati e svolgendo i calcoli secondo le priorità delle operazioni.
Ricorda
- Un polinomio è una somma di monomi e il suo grado coincide con il grado del monomio di grado più alto presente nella forma ridotta.
- I monomi simili si sommano algebricamente, mentre per moltiplicare polinomi si usa la proprietà distributiva applicata a ogni coppia di termini.
- I prodotti notevoli (quadrato di binomio, somma per differenza, cubo di binomio) vanno riconosciuti a colpo d'occhio per risparmiare tempo e ridurre gli errori.
- Piccolo esercizio di verifica: scrivi sul quaderno il polinomio P(x) = 2x³ − x² + 5x − 4, indica il suo grado, calcola P(2) e poi sviluppa il prodotto (x − 4)(x + 4) usando il prodotto notevole adatto.