I polinomi sono espressioni algebriche che permettono di tradurre situazioni reali in formule maneggevoli: dal calcolo del perimetro di un terreno alla previsione del costo di una bolletta, fino alla traiettoria di un pallone da basket.
Che cosa è un monomio e perché serve
Prima di parlare di polinomi dobbiamo familiarizzare con i loro mattoni fondamentali, cioè i monomi, che sono espressioni formate da un numero, detto coefficiente, moltiplicato per una o più lettere elevate a esponenti naturali. Ad esempio $5x^2$, $-3ab$ e $\frac{1}{2}y^3$ sono tutti monomi in forma normale, perché ogni lettera compare una sola volta con il proprio esponente. Il grado di un monomio rispetto a una lettera è l'esponente con cui quella lettera compare, mentre il grado complessivo è la somma di tutti gli esponenti delle parti letterali. Due monomi si dicono simili quando hanno la stessa parte letterale, con le stesse lettere elevate agli stessi esponenti, indipendentemente dal coefficiente numerico. Pensiamo al caso quotidiano di un fruttivendolo che vende mele a $2x$ euro al chilo: se vendiamo $3$ chili abbiamo $6x$ euro, una scrittura sintetica che riassume informazioni concrete. Capire bene i monomi è il passo necessario per affrontare con sicurezza la somma e la moltiplicazione tra polinomi.
Definizione di polinomio e sue caratteristiche
Un polinomio è la somma algebrica di due o più monomi, detti termini, che possono essere simili o non simili tra loro. Quando un polinomio ha due termini si chiama binomio, quando ne ha tre si chiama trinomio, mentre con quattro o più termini si parla genericamente di polinomio. Si dice in forma normale quando i suoi termini simili sono stati sommati tra loro, eliminando ogni ripetizione e lasciando una scrittura compatta e ordinata. Il grado di un polinomio è il grado massimo tra quelli dei suoi termini, e questa caratteristica è fondamentale perché determina il comportamento del polinomio quando lo useremo per modellare fenomeni. Per esempio, il polinomio $P(x)=4x^3-2x^2+x-7$ ha grado tre, quattro termini e si dice ordinato secondo le potenze decrescenti di $x$. Un'applicazione concreta si trova nelle ricette: se una torta richiede $2x$ uova, $3y$ tazze di farina e $z$ cucchiai di zucchero, l'espressione $2x+3y+z$ è un polinomio che rappresenta gli ingredienti totali.
Addizione e sottrazione tra polinomi
Per sommare due polinomi si scrivono uno di seguito all'altro, mantenendo i segni di ciascun termine, e poi si raccolgono tra loro i monomi simili sommandone i coefficienti. La sottrazione segue lo stesso schema, con l'accortezza di cambiare il segno a tutti i termini del polinomio sottraendo prima di unirli al minuendo. Vediamo un esempio: dati $A=3x^2+5x-2$ e $B=x^2-4x+6$, la somma è $A+B=4x^2+x+4$, mentre la differenza è $A-B=3x^2+5x-2-x^2+4x-6=2x^2+9x-8$. Per non commettere errori conviene seguire questi passi:
- Eliminare le parentesi rispettando i segni davanti a esse.
- Raggruppare mentalmente o visivamente i monomi simili.
- Sommare i coefficienti e riscrivere la parte letterale invariata.
- Ordinare il risultato secondo le potenze decrescenti della lettera principale.
Un esempio reale è il bilancio mensile: se gli incassi sono $5a+3b$ euro e le spese sono $2a+b$ euro, il guadagno netto è $3a+2b$ euro, un polinomio che descrive in modo compatto la situazione economica.
Moltiplicazione tra polinomi e prodotti notevoli
Moltiplicare un monomio per un polinomio significa applicare la proprietà distributiva, distribuendo il monomio su ciascun termine del polinomio: per esempio $2x(3x^2-4x+5)=6x^3-8x^2+10x$. Quando si moltiplicano due polinomi tra loro si moltiplica ogni termine del primo per ogni termine del secondo e poi si sommano i monomi simili che eventualmente compaiono. Esistono però casi particolari, detti prodotti notevoli, che è utilissimo memorizzare per velocizzare i calcoli e riconoscere strutture ricorrenti. I principali sono il quadrato di un binomio $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, il quadrato di una differenza $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, la somma per differenza $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ e il cubo di un binomio $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$. Pensiamo al caso di un quadrato da piastrellare con lato $(x+3)$: la sua area sarà $(x+3)^2=x^2+6x+9$, formula che ci dà subito il numero di piastrelle in funzione di $x$. Riconoscere queste strutture ci permette di scrivere subito il risultato senza dover svolgere ogni volta tutto il prodotto in colonna.
I polinomi per modellare la realtà
Il motivo per cui studiamo i polinomi non è soltanto matematico, ma profondamente pratico, perché essi sono lo strumento più semplice per costruire un modello matematico di una situazione reale. Modellare significa scrivere una relazione tra grandezze che ci interessano, in modo da poter fare previsioni, confronti e decisioni consapevoli. Per esempio, il costo totale di una palestra che richiede $40$ euro di iscrizione e $25$ euro al mese si scrive $C(x)=25x+40$, dove $x$ è il numero di mesi: si tratta di un polinomio di primo grado che ci permette di calcolare la spesa annuale sostituendo $x=12$. Allo stesso modo, l'altezza in metri di una palla lanciata verso l'alto si può descrivere con il polinomio $h(t)=-5t^2+10t+1{,}5$, dove $t$ è il tempo in secondi e dove ogni coefficiente racconta una caratteristica fisica del lancio. Questa capacità descrittiva rende i polinomi uno strumento potentissimo: chimici, economisti, ingegneri e biologi li usano ogni giorno per descrivere fenomeni complessi con poche lettere e qualche operazione. Imparare a manipolarli con sicurezza, perciò, significa imparare un linguaggio universale.
Ricorda
- Un monomio è il prodotto di un coefficiente per una parte letterale a esponenti naturali; due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale.
- Un polinomio è la somma algebrica di più monomi, e il suo grado è il massimo grado tra i suoi termini.
- Per sommare o sottrarre polinomi si raccolgono i monomi simili facendo attenzione ai segni quando si tolgono le parentesi.
- Nel prodotto tra polinomi vale la proprietà distributiva, e alcuni prodotti notevoli vanno memorizzati per risolvere più rapidamente le espressioni.
- I polinomi servono per modellare la realtà, perché traducono situazioni concrete in formule che possiamo studiare e calcolare.
Esercizio di verifica da svolgere subito sul quaderno: dati i polinomi $A(x)=2x^2-3x+4$ e $B(x)=x^2+5x-1$, scrivi sul quaderno (a) il polinomio somma $A+B$ ordinato per potenze decrescenti, (b) il polinomio differenza $A-B$, (c) il grado di entrambi i polinomi ottenuti, infine (d) inventa una situazione quotidiana in cui $A(x)$ potrebbe rappresentare un costo o una grandezza concreta, spiegando il significato di ciascun coefficiente.