Un'equazione di primo grado è un'uguaglianza tra due espressioni che contiene una lettera incognita con esponente uno, e risolverla significa trovare il valore numerico che, sostituito alla lettera, rende vera l'uguaglianza.
Quando in matematica scriviamo qualcosa come 3x + 5 = 14, stiamo affermando che due quantità sono uguali, ma una di esse contiene una lettera il cui valore non conosciamo ancora. Questa lettera, di solito x, prende il nome di incognita e rappresenta il numero misterioso che dobbiamo scoprire. L'aggettivo "di primo grado" indica una caratteristica precisa: l'incognita compare sempre elevata all'esponente uno, mai al quadrato, al cubo o sotto radice. Pensa a una bilancia perfettamente in equilibrio: il piatto di sinistra contiene l'espressione che sta prima dell'uguale, quello di destra l'espressione che sta dopo. Risolvere l'equazione significa scoprire quale peso dobbiamo attribuire a x affinché la bilancia rimanga in equilibrio. Questo modo di pensare ti accompagnerà per tutta la scuola superiore e oltre.
I principi di equivalenza
Per risolvere un'equazione utilizziamo due strumenti fondamentali chiamati principi di equivalenza, che ci permettono di trasformare l'equazione in un'altra più semplice ma con la stessa soluzione. Il primo principio afferma che, se aggiungiamo o sottraiamo lo stesso numero a entrambi i membri, l'uguaglianza rimane valida: è come aggiungere un peso identico sui due piatti della bilancia. Da questo principio nasce la regola del trasporto, secondo cui un termine può passare da un membro all'altro purché cambi il proprio segno. Il secondo principio stabilisce che possiamo moltiplicare o dividere entrambi i membri per uno stesso numero diverso da zero, ottenendo un'equazione equivalente. Vediamo un esempio concreto risolvendo 2x − 6 = 10: trasportiamo il −6 a destra cambiando segno e otteniamo 2x = 16, poi dividiamo entrambi i membri per 2 e troviamo x = 8. Per essere sicuri del risultato sostituiamo 8 al posto di x nell'equazione di partenza e verifichiamo che 2·8 − 6 faccia davvero 10.
Equazioni determinate, indeterminate, impossibili
Non tutte le equazioni si comportano allo stesso modo, e dopo aver applicato i principi di equivalenza possiamo trovarci di fronte a tre situazioni diverse. Quando arriviamo a una forma del tipo ax = b con a diverso da zero, l'equazione è detta determinata perché ammette un'unica soluzione, ossia x = b/a. Se invece otteniamo un'uguaglianza come 0x = 0, ogni numero reale soddisfa l'equazione e diciamo che è indeterminata, perché le soluzioni sono infinite. Infine, se troviamo qualcosa di assurdo come 0x = 5, nessun numero moltiplicato per zero può dare cinque e quindi l'equazione si dice impossibile, priva di soluzioni. Riconoscere a quale categoria appartiene l'equazione che hai davanti è una competenza tanto importante quanto saperla risolvere. Ricorda inoltre che, di fronte a equazioni con parentesi o denominatori, dovrai prima svolgere le moltiplicazioni e ridurre allo stesso denominatore per arrivare alla forma standard.
Ricorda
- L'incognita di un'equazione di primo grado ha sempre esponente uno e va isolata applicando i due principi di equivalenza.
- Un termine si può spostare dall'altra parte dell'uguale cambiando segno, mentre un fattore moltiplicativo passa al denominatore (purché diverso da zero).
- Un'equazione può essere determinata, indeterminata o impossibile a seconda della forma finale che assume.
- Piccolo esercizio: prendi il quaderno e risolvi 5x + 3 = 2x + 18, poi verifica sostituendo la soluzione nell'equazione di partenza.