Una equazione di primo grado è una uguaglianza tra due espressioni in cui compare una lettera misteriosa, chiamata incognita, che ha sempre esponente uno e che dobbiamo scoprire per rendere vera l'uguaglianza.
Che cos'è davvero una equazione
Una equazione è una scrittura matematica formata da due espressioni separate dal segno di uguale, nelle quali compare almeno una lettera che rappresenta un numero ancora sconosciuto. Quella lettera, di solito indicata con x, prende il nome di incognita e rappresenta il valore che dobbiamo determinare per rendere vera l'uguaglianza. L'espressione scritta a sinistra del segno di uguale si chiama primo membro, mentre quella scritta a destra prende il nome di secondo membro. Risolvere una equazione significa proprio trovare tutti i valori dell'incognita che, sostituiti al posto della lettera, trasformano l'uguaglianza in una affermazione vera. Pensa, per esempio, alla frase: pensavo un numero, gli ho aggiunto cinque e ho ottenuto dodici; tradotta diventa l'equazione x + 5 = 12, la cui soluzione evidente è il numero sette. Allo stesso modo, se in pizzeria quattro amici dividono in parti uguali un conto e ciascuno paga nove euro, possiamo scrivere x : 4 = 9 per scoprire che il conto totale era trentasei euro.
Perché si chiama di primo grado
La parola grado, in una equazione, indica l'esponente più alto con cui compare l'incognita all'interno dei due membri dopo aver svolto tutti i calcoli possibili. Una equazione si dice di primo grado, o lineare, quando l'incognita compare soltanto con esponente uno, mai elevata al quadrato, al cubo o sotto radice. Questa caratteristica è fondamentale perché garantisce che, se l'equazione ha soluzioni, queste si possano ricavare con passaggi algebrici semplici e diretti. Ad esempio, la scrittura 3x − 7 = 2 è una equazione di primo grado perfettamente regolare, mentre la scrittura x² + 1 = 10 non lo è, perché l'incognita compare con esponente due. Allo stesso modo, una frase come 5x + 2 = 3x − 4 rimane di primo grado anche dopo aver spostato i termini, perché nessuna potenza di x supera l'uno. Riconoscere subito il grado di una equazione ti permette di scegliere immediatamente la strategia risolutiva più adatta.
La forma normale e il significato dei coefficienti
Ogni equazione di primo grado, dopo aver svolto i calcoli e raccolto i termini simili, può essere ricondotta alla cosiddetta forma normale, scritta come ax + b = 0. In questa scrittura compatta, la lettera a si chiama coefficiente dell'incognita, mentre la lettera b è il termine noto, cioè il numero senza la x. Saper portare una equazione alla sua forma normale è un'abilità preziosa, perché permette di leggerne subito le caratteristiche e di applicare regole generali valide per qualsiasi caso. Considera, ad esempio, l'equazione 4x + 1 = 9: portando tutto al primo membro otteniamo 4x − 8 = 0, dove a vale quattro e b vale meno otto. Un altro esempio quotidiano: se hai cinque biglie in tasca e dopo averne ricevute alcune ne hai dodici, la situazione si traduce in x + 5 = 12, che ridotta a forma normale diventa x − 7 = 0. Quando l'equazione è scritta in questa forma pulita, la soluzione si ottiene semplicemente isolando l'incognita.
I principi di equivalenza
Per risolvere una equazione utilizziamo due regole fondamentali, chiamate principi di equivalenza, che ci permettono di trasformare l'equazione senza alterare le sue soluzioni. Il primo principio afferma che, se aggiungiamo o sottraiamo lo stesso numero o la stessa espressione a entrambi i membri, otteniamo una equazione equivalente a quella di partenza. Il secondo principio afferma invece che possiamo moltiplicare o dividere entrambi i membri per uno stesso numero diverso da zero, ottenendo ancora un'equazione con le stesse soluzioni. Immagina una bilancia perfettamente in equilibrio con due piatti uguali: se aggiungi lo stesso peso a destra e a sinistra, oppure raddoppi simultaneamente entrambi i carichi, la bilancia resta in equilibrio. Applichiamo il primo principio quando, partendo da x − 3 = 8, sommiamo tre a entrambi i membri e otteniamo x = 11. Usiamo invece il secondo quando, partendo da 4x = 20, dividiamo entrambi i membri per quattro e ricaviamo x = 5.
Le regole pratiche: trasporto e cambio di segno
Dai due principi di equivalenza nascono alcune scorciatoie operative che useremo costantemente durante i calcoli. La prima è la regola del trasporto: un termine può essere spostato da un membro all'altro a condizione di cambiargli il segno, perché in realtà stiamo sottraendo o aggiungendo quella stessa quantità a entrambi i lati. La seconda regola, conseguenza del secondo principio, dice che possiamo cambiare contemporaneamente il segno di tutti i termini dei due membri, perché equivale a moltiplicare ogni cosa per meno uno. Esiste poi la pratica di liberarsi dei denominatori: se compaiono frazioni, basta moltiplicare ogni termine per il minimo comune multiplo dei denominatori per ottenere una scrittura intera molto più maneggevole. Per esempio, in 2x + 7 = 15 trasportiamo il sette al secondo membro cambiandogli di segno, ottenendo 2x = 8 e poi x = 4. Allo stesso modo, da −x = 6 ricaviamo subito x = −6 cambiando segno a tutto, una mossa rapida ed elegante che evita di scrivere ulteriori passaggi.
Il procedimento risolutivo passo dopo passo
Quando affronti una equazione di primo grado conviene seguire una sequenza ordinata di operazioni, in modo da non dimenticare nessun passaggio e da ridurre al minimo gli errori di distrazione. La strategia completa, valida per qualsiasi equazione lineare a una incognita, si può riassumere così.
- Esegui tutti i calcoli possibili, sviluppando parentesi e moltiplicazioni nei due membri.
- Elimina eventuali denominatori moltiplicando ogni termine per il minimo comune multiplo.
- Trasporta tutti i termini con l'incognita al primo membro e tutti i termini noti al secondo.
- Somma i termini simili in ciascun membro, scrivendo l'equazione nella forma ax = b.
- Dividi entrambi i membri per il coefficiente a, ottenendo finalmente il valore di x.
- Verifica la soluzione sostituendola nell'equazione originale e controllando l'uguaglianza.
Considera, ad esempio, l'equazione 2(x + 3) = x + 11: svolgendo la parentesi otteniamo 2x + 6 = x + 11, poi spostando i termini ricaviamo x = 5, valore che possiamo controllare sostituendolo. Anche un problema concreto, come ripartire una somma di 90 euro tra due fratelli in modo che il maggiore riceva il doppio del minore, conduce all'equazione x + 2x = 90, da cui ricaviamo subito che il minore prende 30 euro.
Equazioni determinate, indeterminate e impossibili
Non tutte le equazioni di primo grado si comportano allo stesso modo: a seconda dei coefficienti che otteniamo dopo i calcoli, possiamo incontrare tre situazioni differenti. Una equazione si dice determinata quando arriva alla forma ax = b con a diverso da zero, perché ammette una sola soluzione, esattamente x = b/a. Si dice invece indeterminata quando riduciamo entrambi i membri alla scrittura 0 = 0, perché in tal caso ogni numero reale è soluzione e l'equazione è in realtà una identità. Si chiama infine impossibile quando arriviamo a una scrittura come 0 = 5, perché nessun numero potrà mai trasformare quella uguaglianza in una verità. Ad esempio, l'equazione 3x − 6 = 0 è determinata e ha come unica soluzione il numero due. L'equazione 2(x + 1) = 2x + 2 conduce invece a 0 = 0 ed è indeterminata, perché qualunque valore di x la rende vera, mentre x + 3 = x + 5 si riduce a 0 = 2 ed è chiaramente impossibile.
Dai problemi reali alle equazioni
Le equazioni di primo grado non sono soltanto esercizi astratti, ma uno strumento potentissimo per modellare situazioni quotidiane, dal calcolo delle spese alla pianificazione di un viaggio. Il segreto sta nel saper tradurre il testo del problema in simboli: si individua l'incognita, le si dà un nome, e si scrivono le relazioni descritte sotto forma di uguaglianza. Una volta scritta l'equazione, la si risolve con i procedimenti che abbiamo studiato, e infine si interpreta il risultato nel contesto originale, verificando che abbia senso. Pensa al caso classico dell'età: se tra otto anni avrai il doppio degli anni che hai oggi, l'incognita è la tua età attuale x e l'equazione diventa x + 8 = 2x, da cui ricaviamo che hai otto anni. Un altro esempio gustoso: in pasticceria un bignè costa il triplo di una caramella e insieme costano due euro; chiamando x il prezzo della caramella, scriviamo x + 3x = 2 e otteniamo che la caramella costa cinquanta centesimi.
Ricorda
- Una equazione di primo grado ha l'incognita con esponente uno e, in forma normale, si scrive ax + b = 0.
- I due principi di equivalenza permettono di sommare lo stesso numero a entrambi i membri oppure di moltiplicarli per uno stesso numero non nullo.
- Dalle regole nascono il trasporto con cambio di segno e l'eliminazione dei denominatori tramite il minimo comune multiplo.
- Una equazione può essere determinata, indeterminata o impossibile a seconda dei coefficienti finali.
- Tradurre un problema in equazione richiede di scegliere l'incognita, scrivere le relazioni e verificare il risultato.
Ora prendi il quaderno e risolvi questa piccola equazione di verifica: 3(x − 2) + 4 = 2x + 5. Esegui i calcoli, applica il trasporto, isola l'incognita e poi controlla la soluzione sostituendola nell'equazione di partenza. Annota anche se l'equazione risulta determinata, indeterminata o impossibile.