La geometria nasce dall'esigenza di descrivere lo spazio in cui viviamo: prima di costruire palazzi, mappare territori o disegnare circuiti elettronici, l'essere umano ha avuto bisogno di concetti elementari come punto, retta e piano.
Introduzione: gli enti primitivi
Quando in geometria si parla di enti primitivi, ci si riferisce a quegli oggetti che non vengono definiti per mezzo di altri, ma di cui si accetta l'esistenza in modo intuitivo. Punto, retta e piano sono i tre mattoni fondamentali dell'edificio geometrico, esattamente come gli atomi in chimica o le note nella scrittura musicale. Tentare di definirli porterebbe a un ragionamento circolare, perché ogni descrizione finirebbe per usare concetti più complicati di quelli che vogliamo spiegare. Euclide, nei suoi Elementi del 300 a.C., li chiamava semplicemente con nomi e poi enunciava i postulati che ne regolavano il comportamento. Pensa a quando descrivi a un amico la posizione di un oggetto sulla scrivania: indichi un puntino preciso, tracci una linea immaginaria fino al libro, immagini il piano della scrivania. Senza accorgertene, stai usando esattamente questi tre concetti come strumenti del pensiero.
Il punto e la retta
Il punto è l'ente geometrico privo di dimensioni: non ha lunghezza, larghezza né spessore, e si rappresenta con una piccola crocetta o un puntino, indicato di solito con una lettera maiuscola come A, B oppure P. Anche se sul foglio disegniamo un segno visibile, dobbiamo immaginarlo come un'entità ideale, infinitamente piccola, che serve soltanto a indicare una posizione esatta nello spazio. La retta, invece, è una linea senza spessore, illimitata in entrambe le direzioni, e la indichiamo con lettere minuscole come r, s, t oppure nominando due suoi punti, ad esempio AB con una piccola riga sopra. Un postulato fondamentale stabilisce che per due punti distinti passa una e una sola retta: prova a piantare due chiodi su una tavola e a tendere uno spago fra di essi, scoprirai che esiste un unico modo per farlo perfettamente teso. Per un singolo punto, al contrario, passano infinite rette, come accade quando fai ruotare una matita appoggiata con la punta sul tavolo. Questa proprietà dell'unicità è alla base di moltissime costruzioni che incontrerai nello studio della geometria euclidea.
Il piano e le sue proprietà
Il piano è una superficie ideale, perfettamente liscia, priva di spessore ed estesa illimitatamente in tutte le direzioni: lo indichiamo con lettere greche minuscole come alfa, beta, gamma. Un esempio quotidiano abbastanza fedele è la superficie di un lago in una giornata senza vento, oppure il foglio di un quaderno immaginato infinitamente grande e perfettamente piatto. Un postulato importante afferma che per tre punti non allineati passa uno e un solo piano: ecco perché i tavoli a tre gambe non traballano mai, mentre quelli a quattro spesso lo fanno se il pavimento non è regolare. Quando una retta ha due punti in comune con un piano, allora l'intera retta giace su quel piano, principio sfruttato dai muratori che controllano la planarità di un muro appoggiandovi un'asta. Due piani distinti possono essere paralleli, come il pavimento e il soffitto di un'aula, oppure incidenti, e in quest'ultimo caso si incontrano sempre lungo una retta, come accade fra due pareti adiacenti della stanza. Capire questi rapporti reciproci aiuta a costruire la geometria solida che incontrerai nei prossimi anni.
Semirette, segmenti e poligonali
Un punto preso su una retta la divide in due parti, ciascuna chiamata semiretta: il punto di divisione si dice origine, e la semiretta è illimitata soltanto nella direzione opposta. Se invece consideriamo due punti A e B su una retta, la porzione compresa fra di essi prende il nome di segmento AB, oggetto centrale di tutta la geometria perché è misurabile e confrontabile. Due segmenti si dicono consecutivi se hanno in comune soltanto un estremo, e adiacenti se, oltre all'estremo, appartengono anche alla stessa retta. Una sequenza di segmenti consecutivi forma una linea spezzata o poligonale, che può essere aperta come il profilo di una scalinata oppure chiusa come il bordo di un campo da gioco. Pensa al percorso di un tram in città: ogni tratto rettilineo è un segmento, ogni fermata è un estremo, e l'insieme di tutti i tratti compone proprio una poligonale. Quando la poligonale si chiude senza che i lati si intersechino, delimita una regione di piano che chiamiamo poligono.
Angoli e figure piane
Due semirette con la stessa origine dividono il piano in due regioni, ciascuna chiamata angolo: il punto comune è il vertice, mentre le semirette sono i lati. Un angolo si misura in gradi sessagesimali e prende nomi diversi a seconda della sua ampiezza: acuto se è minore di novanta gradi, retto se è esattamente di novanta gradi, ottuso se compreso fra novanta e centottanta, piatto se misura esattamente centottanta gradi. Due angoli si dicono complementari se la loro somma è novanta gradi, supplementari se danno centottanta, esplementari se sommati danno trecentosessanta gradi. Le lancette di un orologio offrono un esempio perfetto: alle tre in punto formano un angolo retto, alle sei un angolo piatto, alle due circa un angolo acuto di sessanta gradi. Le figure piane, come triangoli e quadrilateri, sono porzioni di piano delimitate da poligonali chiuse, e i loro angoli interni soddisfano relazioni precise che studierai con i criteri di congruenza e con il teorema di Pitagora. Riconoscere correttamente questi enti è il primo passo per affrontare con sicurezza tutta la geometria del biennio.
Ricorda
I punti chiave da fissare nella memoria sono i seguenti: il punto, la retta e il piano sono enti primitivi non definiti; per due punti distinti passa una sola retta, per tre punti non allineati un solo piano; semiretta e segmento sono parti di retta; due semirette con origine comune individuano un angolo, classificato in base alla sua ampiezza. Tieni sempre presente che dietro ogni costruzione complessa, dai criteri di congruenza dei triangoli fino al teorema di Pitagora, ci sono questi mattoni elementari che ne garantiscono la coerenza logica. Ora prova un piccolo esercizio di verifica attivo sul tuo quaderno: disegna tre punti A, B, C non allineati, traccia le tre rette che li congiungono a coppie, individua i tre segmenti AB, BC, CA e misura con il goniometro i tre angoli interni del triangolo ottenuto, verificando che la loro somma sia vicina a centottanta gradi. Annota poi quali coppie di angoli sono acute e se ne riconosci uno retto o ottuso, motivando la tua risposta con una frase scritta accanto al disegno.