La relatività ristretta, formulata da Albert Einstein nel 1905, ribalta le idee intuitive di spazio e tempo che avevamo ereditato da Galileo e Newton. Partendo da due semplici postulati, essa mostra che il tempo scorre diversamente per osservatori in moto relativo e che le lunghezze si accorciano nella direzione del moto. In questa scheda esploreremo il contesto storico, i postulati fondamentali e le loro conseguenze più sorprendenti, fino alla famosa equivalenza tra massa ed energia.
La crisi della fisica classica a fine Ottocento
Alla fine del XIX secolo la fisica sembrava un edificio quasi completo: la meccanica newtoniana descriveva perfettamente il moto dei corpi e l'elettromagnetismo di Maxwell unificava elettricità, magnetismo e ottica in un'unica teoria. Tuttavia, dalle equazioni di Maxwell emergeva una velocità della luce nel vuoto pari a circa 300000 km/s, ma non era chiaro rispetto a quale sistema di riferimento questa velocità dovesse essere misurata. Per risolvere il problema i fisici ipotizzarono l'esistenza di un mezzo invisibile, chiamato etere, che pervadeva tutto lo spazio e fungeva da sistema di riferimento privilegiato per la propagazione delle onde elettromagnetiche. L'esperimento di Michelson e Morley del 1887, però, tentò di misurare la velocità della Terra rispetto all'etere usando un sofisticato interferometro e diede sempre un risultato nullo. Un esempio quotidiano dell'analogia con l'etere è il suono: le onde sonore hanno bisogno dell'aria per propagarsi, e quando ci muoviamo nell'aria percepiamo il vento. La luce, invece, si comporta come se non esistesse alcun vento d'etere, qualunque sia la velocità della Terra lungo la sua orbita attorno al Sole.
I due postulati di Einstein
Nel 1905 Einstein, in un articolo intitolato Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento, propose una soluzione radicale fondata su due soli postulati. Il primo postulato, detto principio di relatività, afferma che le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali, estendendo all'elettromagnetismo ciò che Galileo aveva già intuito per la meccanica. Il secondo postulato afferma che la velocità della luce nel vuoto, indicata con c, ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali, indipendentemente dal moto della sorgente o dell'osservatore. Quest'ultima ipotesi appare in netto contrasto con il senso comune: se viaggio a 100 km/h e accendo i fari, mi aspetterei che la luce viaggi a c + 100 km/h rispetto al suolo, ma la natura ci dice che la luce viaggia comunque a c. Un esempio illuminante è quello di due astronavi che si avvicinano frontalmente a metà della velocità della luce e si scambiano un segnale luminoso: ciascuna misura la velocità di quel segnale uguale a c, non a 1,5 c come la somma classica suggerirebbe. Questa costanza della velocità della luce è la chiave di volta dell'intera teoria e impone di rivedere profondamente i concetti di simultaneità, tempo e spazio.
La relatività della simultaneità
Una delle prime conseguenze sorprendenti dei postulati è che due eventi simultanei per un osservatore non lo sono in generale per un altro osservatore in moto rispetto al primo. Einstein illustrò questo fatto con il celebre esperimento mentale del treno: immaginiamo un vagone in moto rettilineo uniforme rispetto al suolo, con un osservatore A al centro e due lampade alle estremità che si accendono. Per A, fermo nel treno, i due lampi raggiungono il centro nello stesso istante, dunque le due accensioni sono simultanee. Per un osservatore B fermo sulla banchina, però, il treno si muove durante il tempo di propagazione della luce, perciò il lampo proveniente dalla coda raggiungerà il centro del vagone prima di quello proveniente dalla testa. Ne segue che B giudicherà non simultanei due eventi che A considerava simultanei, e nessuno dei due osservatori si sbaglia: la simultaneità è una nozione relativa al sistema di riferimento. Un esempio quotidiano, anche se molto attenuato perché le nostre velocità sono piccolissime rispetto a c, è quello di due fuochi d'artificio che esplodono contemporaneamente per chi è fermo al centro del campo, ma non per un pilota di aereo che passa sopra a grande velocità. Questo risultato dissolve l'idea newtoniana di un tempo assoluto, uguale per tutti, e apre la strada alla dilatazione del tempo.
La dilatazione del tempo
Se la simultaneità è relativa, allora anche gli intervalli di tempo tra due eventi misurati da osservatori diversi sono in generale diversi. Consideriamo un orologio a luce: due specchi paralleli a distanza d tra cui rimbalza un fotone; ogni rimbalzo è un tic del nostro orologio. Per un osservatore solidale con l'orologio (sistema in cui i due specchi sono fermi) il tempo tra due tic è Δt₀ = 2d/c, chiamato tempo proprio. Per un osservatore rispetto al quale l'orologio si muove con velocità v perpendicolare al segmento tra gli specchi, il fotone percorre una traiettoria a zig-zag più lunga, e poiché c è costante, l'intervallo di tempo misurato risulta Δt = Δt₀/√(1 − v²/c²), con il fattore di Lorentz γ = 1/√(1 − v²/c²) sempre maggiore o uguale a 1. In pratica un orologio in moto rallenta rispetto a uno fermo, ma l'effetto è apprezzabile solo per velocità prossime a quella della luce. Un esempio concreto e verificato sperimentalmente è quello dei muoni atmosferici: queste particelle, prodotte dai raggi cosmici a circa 15 km di altezza, hanno una vita media molto breve, ma grazie alla dilatazione del tempo riescono comunque a raggiungere il suolo in gran numero. Un secondo esempio è dato dai satelliti GPS, i cui orologi atomici devono essere corretti tenendo conto sia della relatività ristretta sia di quella generale per fornire posizioni accurate al metro.
La contrazione delle lunghezze
Accanto alla dilatazione del tempo troviamo una corrispondente modifica delle lunghezze nella direzione del moto. Se un oggetto ha lunghezza L₀ nel sistema in cui è in quiete (lunghezza propria), un osservatore rispetto al quale l'oggetto si muove con velocità v lungo la propria lunghezza misurerà una lunghezza ridotta L = L₀·√(1 − v²/c²) = L₀/γ. Le dimensioni perpendicolari al moto, invece, restano invariate, perciò una sfera in moto a velocità relativistica viene vista come un ellissoide schiacciato lungo la direzione del moto. Anche questa contrazione è simmetrica: ciascuno dei due osservatori in moto relativo vede l'altro accorciarsi, senza che vi sia una verità privilegiata. Riprendendo l'esempio dei muoni, nel sistema di riferimento del muone stesso non è il suo orologio a rallentare, ma è l'atmosfera terrestre ad apparire fortemente contratta lungo la direzione del moto, così che i 15 km diventano poche centinaia di metri facilmente percorribili nella vita media propria. Un altro esempio interessante è quello di un'astronave lunga 100 m che sfrecciasse a 0,8c rispetto a noi: noi la misureremmo lunga solo 60 m, mentre il pilota a bordo continuerebbe a misurarla 100 m.
Le trasformazioni di Lorentz e la composizione delle velocità
Le trasformazioni di Galileo che lega le coordinate di due osservatori in moto rettilineo uniforme con velocità v lungo l'asse x sono x' = x − vt e t' = t, e implicano la classica somma vettoriale delle velocità. Tali trasformazioni, però, sono incompatibili con la costanza della velocità della luce e devono essere sostituite dalle trasformazioni di Lorentz: x' = γ(x − vt), t' = γ(t − vx/c²), mentre le coordinate y e z restano invariate. Da queste si deduce la nuova legge di composizione delle velocità lungo la direzione del moto: u' = (u − v)/(1 − uv/c²), che si riduce alla somma galileiana quando v e u sono molto piccole rispetto a c. Notiamo subito una proprietà fondamentale: se u = c, allora u' = c qualsiasi sia v, in pieno accordo con il secondo postulato. Un esempio numerico chiarificatore: due astronavi si avvicinano frontalmente, ciascuna a 0,6c rispetto alla Terra; la velocità relativa tra loro non è 1,2c, bensì circa 0,88c, ben al di sotto del limite invalicabile c. Un secondo esempio: se accendiamo i fari di un'auto in corsa a 100 km/h, la formula relativistica conferma che la luce viaggia comunque a c rispetto al suolo, perché la correzione al denominatore compensa esattamente il termine aggiunto al numeratore.
Equivalenza massa-energia
Dalla relatività ristretta discende anche una completa revisione dei concetti di quantità di moto ed energia. La massa di un corpo non è più una costante: la quantità di moto relativistica vale p = γmv e l'energia totale vale E = γmc², dove m è la massa a riposo del corpo. Quando v è nullo otteniamo la famosa relazione E₀ = mc², che esprime l'equivalenza tra massa ed energia: anche un corpo fermo possiede un'enorme energia intrinseca legata semplicemente alla sua massa. La differenza E − E₀ rappresenta l'energia cinetica relativistica, che per piccole velocità si riduce all'espressione classica (1/2)mv². Un esempio drammatico di conversione massa-energia è la fissione nucleare nelle centrali e nelle bombe atomiche, dove una piccolissima frazione di massa dei nuclei pesanti si trasforma in un'enorme quantità di energia. Un secondo esempio, costante e benefico, è la fusione termonucleare che alimenta il Sole: ogni secondo circa 4 milioni di tonnellate di materia solare diventano energia luminosa che permette la vita sulla Terra.
Conferme sperimentali e portata della teoria
La relatività ristretta non è una speculazione filosofica, ma una teoria sostenuta da innumerevoli verifiche sperimentali condotte in oltre un secolo. Gli acceleratori di particelle come il Large Hadron Collider del CERN portano routinariamente protoni a velocità del 99,9999991% di c, e l'energia, la massa relativistica e la durata di vita delle particelle prodotte seguono con precisione altissima le previsioni di Einstein. Anche la nostra tecnologia quotidiana, dai navigatori satellitari alle immagini diagnostiche PET basate sull'annichilazione elettrone-positrone, presuppone implicitamente l'equivalenza massa-energia. La relatività ristretta vale però solo per sistemi di riferimento inerziali e non descrive la gravità, ambito coperto dalla successiva relatività generale del 1915. È importante sottolineare che la meccanica newtoniana non è sbagliata, ma è un'approssimazione eccellente quando le velocità in gioco sono molto inferiori a c, perché in tale limite γ tende a 1 e tutte le formule relativistiche si riducono a quelle classiche. Un esempio quotidiano è il calcolo della traiettoria di una palla da tennis o di un'automobile: usare le formule relativistiche darebbe lo stesso risultato delle formule classiche, ma con uno sforzo enormemente maggiore e inutile.
Ricorda
- I due postulati di Einstein sono: 1) le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali; 2) la velocità della luce nel vuoto è la stessa per tutti gli osservatori inerziali.
- La simultaneità di due eventi è relativa al sistema di riferimento; non esiste un tempo assoluto valido per tutti.
- Un intervallo di tempo proprio Δt₀ misurato da un orologio si dilata in Δt = γΔt₀ per un osservatore che vede l'orologio in moto.
- Una lunghezza propria L₀ si contrae in L = L₀/γ lungo la direzione del moto; le dimensioni trasversali restano invariate.
- Il fattore di Lorentz vale γ = 1/√(1 − v²/c²) ed è sempre maggiore o uguale a 1; le velocità non possono mai uguagliare o superare c per corpi dotati di massa.
- L'energia totale di un corpo è E = γmc², l'energia a riposo è E₀ = mc² e l'energia cinetica relativistica è K = (γ − 1)mc².
- Per v molto minore di c tutte le formule relativistiche si riducono a quelle della meccanica classica.
Piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: un'astronave viaggia a v = 0,6c rispetto alla Terra. Calcola il fattore di Lorentz γ; quindi determina di quanto si dilata, per un osservatore terrestre, un intervallo di tempo proprio di 4 anni misurato dall'orologio di bordo e di quanto si contrae, per lo stesso osservatore terrestre, una lunghezza propria di 120 m misurata a bordo. Confronta i due risultati e spiega a parole perché entrambi sono coerenti con la costanza della velocità della luce.