Il moto armonico è un'oscillazione regolare attorno a una posizione di equilibrio, governata da una forza di richiamo proporzionale allo spostamento e descritta da funzioni sinusoidali del tempo.
In natura osserviamo continuamente corpi che oscillano: un ramo che vibra dopo essere stato piegato, le corde di una chitarra che producono un suono, il pendolo di un vecchio orologio. Quando l'oscillazione è dovuta a una forza che richiama sempre il corpo verso una posizione centrale, e tale forza cresce in modo proporzionale alla distanza da quel centro, parliamo di moto armonico semplice. Si tratta di un modello fondamentale della fisica perché molti fenomeni reali, almeno per piccole oscillazioni, possono essere ricondotti ad esso. Lo studieremo partendo dalle grandezze che lo caratterizzano per poi descriverlo matematicamente attraverso le equazioni del moto.
Grandezze caratteristiche e legge oraria
Il moto armonico si svolge tra due posizioni estreme equidistanti dal centro di oscillazione, chiamato posizione di equilibrio. Si definisce ampiezza A la massima distanza raggiunta dal corpo rispetto a tale centro, misurata in metri nel Sistema Internazionale. Il tempo che il corpo impiega per compiere un'oscillazione completa, cioè per tornare al punto di partenza muovendosi nello stesso verso, si chiama periodo T e si misura in secondi. Il numero di oscillazioni compiute in un secondo è la frequenza f, espressa in hertz, legata al periodo dalla relazione f = 1/T. Per descrivere matematicamente quanto velocemente cambia la posizione si introduce la pulsazione ω = 2π/T = 2πf, misurata in radianti al secondo, che rappresenta la velocità angolare del moto circolare uniforme di cui il moto armonico è la proiezione.
La legge oraria che descrive la posizione di un corpo in moto armonico semplice ha la forma x(t) = A·cos(ωt + φ), dove φ è la fase iniziale che indica la posizione del corpo all'istante zero. Per esempio, una massa attaccata a una molla orizzontale, tirata di 10 centimetri e lasciata libera senza velocità iniziale, oscilla seguendo l'equazione x(t) = 0,10·cos(ωt) metri, con φ = 0 perché parte dall'estremo positivo. Derivando rispetto al tempo si ottengono la velocità v(t) = −Aω·sen(ωt + φ) e l'accelerazione a(t) = −Aω²·cos(ωt + φ), che possiamo riscrivere come a(t) = −ω²·x(t). Quest'ultima relazione è la firma del moto armonico: l'accelerazione è sempre proporzionale e opposta allo spostamento, segno che la forza di richiamo punta costantemente verso il centro.
Sistemi fisici: molla e pendolo
Il prototipo fisico del moto armonico è il sistema massa-molla, in cui un corpo di massa m è collegato a una molla di costante elastica k. La legge di Hooke afferma che la forza esercitata dalla molla vale F = −kx, dove x è lo spostamento dalla posizione di equilibrio. Applicando il secondo principio della dinamica otteniamo m·a = −kx, da cui a = −(k/m)·x: confrontando con a = −ω²·x si deduce ω = √(k/m). Da qui ricaviamo il periodo del sistema massa-molla, T = 2π·√(m/k), che dipende solo dalla massa e dalla rigidità della molla, non dall'ampiezza dell'oscillazione. Questa indipendenza dall'ampiezza, detta isocronia, è una proprietà notevole che rende il moto armonico utile per la misura del tempo.
Un altro sistema importante è il pendolo semplice, costituito da una massa appesa a un filo inestensibile di lunghezza L. Per piccole oscillazioni, cioè per angoli inferiori a circa 10°, possiamo approssimare il seno dell'angolo con l'angolo stesso espresso in radianti, ottenendo un'equazione del moto della stessa forma armonica. Il periodo del pendolo risulta T = 2π·√(L/g), dove g è l'accelerazione di gravità: anche in questo caso il periodo non dipende dalla massa né dall'ampiezza, purché le oscillazioni restino piccole. Dal punto di vista energetico, durante il moto armonico l'energia meccanica totale si conserva e si scambia continuamente tra energia cinetica e potenziale: ai punti estremi è tutta potenziale, al centro è tutta cinetica, e in qualunque istante vale E = (1/2)kA² per il sistema massa-molla.
Ricorda
- Nel moto armonico semplice l'accelerazione è sempre proporzionale e di verso opposto allo spostamento, secondo la relazione a = −ω²·x.
- Il periodo del sistema massa-molla è T = 2π·√(m/k), quello del pendolo semplice T = 2π·√(L/g): entrambi sono indipendenti dall'ampiezza per piccole oscillazioni.
- La legge oraria x(t) = A·cos(ωt + φ) descrive completamente il moto una volta noti A, ω e la fase iniziale φ.
Piccolo esercizio sul quaderno: una molla di costante k = 200 N/m sostiene una massa m = 0,5 kg che oscilla con ampiezza A = 4 cm. Calcola la pulsazione ω, il periodo T, la frequenza f e scrivi la legge oraria x(t) assumendo che all'istante t = 0 il corpo si trovi all'estremo positivo. Verifica poi il valore dell'energia meccanica totale del sistema.