Introduzione
I vettori sono enti matematici che descrivono grandezze fisiche dotate non solo di valore numerico ma anche di direzione e verso, come spostamenti, velocità e forze.
In fisica esistono grandezze che possono essere descritte da un singolo numero, come la massa di un corpo o la temperatura di una stanza, e si chiamano scalari. Altre grandezze, invece, richiedono informazioni aggiuntive per essere completamente specificate: pensa a una spinta data a una scatola, dove conta sapere quanto è intensa, lungo quale linea agisce e in che senso. Per descrivere correttamente questi oggetti i fisici hanno introdotto i vettori, rappresentati graficamente come frecce orientate nello spazio. Lo studio dei vettori è fondamentale fin dalla terza liceo perché tutta la meccanica, dalla cinematica alla dinamica, si fonda sulla loro corretta manipolazione. Comprendere come si sommano, si scompongono e si moltiplicano permette di affrontare con sicurezza problemi di equilibrio, moto e campi di forze.
Caratteristiche di un vettore e operazioni fondamentali
Ogni vettore è individuato da quattro elementi: il modulo, che è il numero non negativo che ne misura l'intensità, la direzione, cioè la retta lungo cui giace, il verso, che indica uno dei due possibili orientamenti su quella retta, e il punto di applicazione. Due vettori sono uguali quando hanno stesso modulo, stessa direzione e stesso verso, indipendentemente dal punto in cui sono disegnati: questa proprietà permette di traslarli liberamente sul piano per eseguire le operazioni grafiche. La somma di due vettori si ottiene con la regola del parallelogramma, costruendo la figura sui due vettori applicati nello stesso punto e tracciando la diagonale, oppure con la regola punta-coda, riportando il secondo vettore dopo il primo. La differenza fra due vettori a e b si calcola sommando ad a l'opposto di b, cioè un vettore con stesso modulo e direzione ma verso contrario. Il prodotto di uno scalare k per un vettore v restituisce un nuovo vettore con modulo |k| volte quello di v, stessa direzione, e verso uguale o opposto a seconda che k sia positivo o negativo. Ad esempio, se un'auto subisce due spostamenti consecutivi di 3 km verso est e 4 km verso nord, il vettore spostamento totale ha modulo pari a 5 km (per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo) e una direzione inclinata rispetto ai punti cardinali.
Componenti cartesiane e prodotti tra vettori
Per calcolare con precisione si introduce un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, nel quale ogni vettore v viene scomposto nelle sue componenti vx e vy lungo gli assi x e y. Le componenti si ottengono proiettando il vettore sugli assi e valgono vx = v·cos(θ) e vy = v·sen(θ), dove θ è l'angolo che il vettore forma con l'asse x positivo. Conoscendo le componenti, il modulo si ricalcola con v = √(vx² + vy²) e l'angolo con tan(θ) = vy/vx; questo procedimento trasforma somme grafiche complicate in semplici somme algebriche, perché basta sommare separatamente le componenti omonime. Tra due vettori si definiscono due prodotti distinti, di cui il primo è il prodotto scalare, indicato con a·b: il risultato è il numero a·b·cos(α), dove α è l'angolo compreso fra i due vettori, ed è utile per calcolare il lavoro di una forza. Il secondo è il prodotto vettoriale, indicato con a×b: il risultato è un nuovo vettore perpendicolare al piano dei due, con modulo pari ad a·b·sen(α) e verso dato dalla regola della mano destra, fondamentale in elettromagnetismo. Per esempio, se una forza di 10 N agisce su un corpo formando un angolo di 60° con la direzione dello spostamento di 4 m, il lavoro vale 10·4·cos(60°) = 20 J.
Ricorda
- Un vettore è caratterizzato da modulo, direzione e verso; due vettori si sommano graficamente con la regola del parallelogramma o analiticamente sommando le rispettive componenti cartesiane.
- Le componenti di un vettore di modulo v inclinato di θ sull'asse x sono vx = v·cos(θ) e vy = v·sen(θ); il modulo si ricostruisce con il teorema di Pitagora.
- Il prodotto scalare a·b·cos(α) dà uno scalare, il prodotto vettoriale ha modulo a·b·sen(α) e direzione perpendicolare al piano dei due vettori.
- Verifica attiva: sul quaderno disegna in scala (1 cm = 1 N) due forze applicate nello stesso punto, F1 = 6 N orizzontale verso destra e F2 = 8 N verticale verso l'alto. Determina graficamente con la regola del parallelogramma la risultante, poi verifica analiticamente che il modulo vale 10 N e che l'angolo con l'orizzontale è circa 53°.