Introduzione: perché ci servono i vettori
I vettori sono lo strumento matematico che permette alla fisica di descrivere il mondo reale, dove le grandezze hanno spesso una direzione oltre che un valore numerico.
Immagina di dare istruzioni a un amico per raggiungerti in un grande parco cittadino: dirgli soltanto "cammina per cinquecento metri" non basterebbe affatto, perché potrebbe finire in qualsiasi punto di un'enorme circonferenza. Per essere utili, le tue indicazioni devono contenere anche la direzione del cammino, come ad esempio "cammina cinquecento metri verso nord-est". Questa semplice osservazione quotidiana racchiude l'idea fondamentale che distingue una grandezza scalare, descritta da un solo numero, da una grandezza vettoriale, che richiede invece più informazioni.
La fisica del terzo anno di liceo, in particolare la meccanica, è interamente costruita sul linguaggio dei vettori: forze, velocità, accelerazioni, spostamenti e campi sono tutte grandezze vettoriali. Imparare a manipolare correttamente i vettori significa quindi possedere lo strumento di base per affrontare la dinamica di Newton, la cinematica del moto curvilineo e, più avanti, l'elettromagnetismo. Senza questa padronanza, le formule della fisica resterebbero simboli vuoti senza una vera capacità di prevedere ciò che accadrà.
Grandezze scalari e grandezze vettoriali
Una grandezza scalare è completamente descritta da un numero accompagnato dalla sua unità di misura: la temperatura di una stanza, la massa di un libro, il tempo trascorso durante una lezione sono tutti esempi tipici di scalari. Quando diciamo che la temperatura è ventidue gradi centigradi, non ha senso chiedersi in quale direzione punti quella temperatura, perché il concetto stesso non si applica. Lo stesso vale per la lunghezza di un tavolo, per la densità dell'acqua o per l'energia immagazzinata in una batteria.
Una grandezza vettoriale, al contrario, richiede tre informazioni indipendenti per essere completamente specificata: un'intensità o modulo, una direzione e un verso. Pensa allo spostamento di una nave che parte da Genova e arriva a Palermo: non basta dire che ha percorso circa novecento chilometri, perché bisogna anche indicare lungo quale rotta. Anche la forza con cui spingi un carrello della spesa è un vettore, perché spingere in avanti o di lato produce effetti completamente diversi sul movimento, pur applicando la stessa intensità muscolare.
Come si rappresenta graficamente un vettore
Graficamente un vettore si disegna come una freccia orientata, e ciascuna caratteristica della freccia corrisponde a una proprietà fisica precisa che dobbiamo saper leggere. La lunghezza della freccia, misurata in una scala scelta dal disegnatore, rappresenta il modulo o intensità del vettore, cioè il suo valore numerico. La retta su cui la freccia giace rappresenta la direzione, mentre la punta della freccia indica il verso, distinguendo tra i due possibili orientamenti lungo quella stessa retta. Infine il punto da cui la freccia parte si chiama punto di applicazione, ed è particolarmente importante quando il vettore rappresenta una forza agente su un corpo esteso.
Simbolicamente un vettore si indica con una lettera sormontata da una piccola freccia, come $\vec{v}$ per la velocità o $\vec{F}$ per la forza, mentre il suo solo modulo si scrive senza freccia o tra barrette verticali. Per esempio, se un'automobile viaggia a novanta chilometri orari verso est, scriviamo $|\vec{v}| = 90$ km/h per indicare il modulo, mentre l'intero vettore $\vec{v}$ contiene anche l'informazione sulla direzione est. Questa distinzione notazionale è essenziale per non confondere quantità numeriche con quantità orientate durante i calcoli.
La somma di vettori: metodo punta-coda e parallelogramma
Sommare due vettori non equivale quasi mai a sommare i loro moduli, perché la direzione gioca un ruolo decisivo nel risultato finale. Il metodo punta-coda consiste nel disegnare il primo vettore, poi collocare la coda del secondo esattamente sulla punta del primo, mantenendone inalterati modulo e direzione: il vettore somma, detto risultante, va dalla coda del primo alla punta del secondo. Questa procedura si generalizza facilmente a tre o più vettori, costruendo una spezzata orientata e chiudendola con la risultante.
Il metodo del parallelogramma, perfettamente equivalente, consiste invece nel far partire i due vettori dallo stesso punto, costruire il parallelogramma che ha i due vettori come lati adiacenti, e prendere la diagonale uscente dal punto comune. Pensa a una barca che attraversa un fiume: il suo moto effettivo rispetto alla riva è la somma vettoriale della velocità della barca rispetto all'acqua e della velocità della corrente, e disegnando il parallelogramma vedi subito dove approderà. Allo stesso modo, due persone che tirano una slitta con corde inclinate producono una forza risultante che si ottiene proprio con la diagonale del parallelogramma costruito sulle due tensioni.
Differenza di vettori e moltiplicazione per uno scalare
La differenza tra due vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ si calcola come somma di $\vec{a}$ con l'opposto di $\vec{b}$: l'opposto $-\vec{b}$ ha lo stesso modulo e la stessa direzione di $\vec{b}$, ma verso contrario. Questa operazione è fondamentale in cinematica per calcolare lo spostamento tra due posizioni successive o la variazione di velocità durante un'accelerazione. Per esempio, se una palla rimbalza contro un muro con velocità iniziale verso destra e velocità finale verso sinistra di pari modulo, la variazione di velocità è un vettore orizzontale che punta verso sinistra e ha modulo doppio rispetto a ciascuna velocità.
Moltiplicare un vettore per uno scalare $k$ significa ottenere un nuovo vettore con la stessa direzione, modulo pari a $|k|$ volte il modulo originale, e verso uguale o opposto a seconda che $k$ sia positivo o negativo. Se uno scooter accelera uniformemente raddoppiando la propria velocità, il nuovo vettore velocità ha la stessa direzione del precedente ma modulo doppio. Se invece consideriamo la forza peso di un corpo e immaginiamo di triplicarne la massa, il vettore peso punta sempre verso il basso ma diventa tre volte più lungo di prima.
Le componenti cartesiane di un vettore
Disegnare e sommare vettori graficamente è intuitivo, ma per problemi numerici precisi si introduce un sistema di assi cartesiani e si scompone ogni vettore lungo le sue componenti $x$ e $y$. Se un vettore $\vec{v}$ ha modulo $v$ e forma un angolo $\theta$ con l'asse delle ascisse, le sue componenti si calcolano con $v_x = v \cos\theta$ e $v_y = v \sin\theta$, formule che derivano direttamente dalla trigonometria del triangolo rettangolo. Viceversa, conoscendo le due componenti si ricostruisce il modulo con il teorema di Pitagora: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$, e l'angolo con $\tan\theta = v_y / v_x$.
La potenza di questo metodo è enorme, perché trasforma le operazioni vettoriali in semplici operazioni algebriche sulle componenti: la somma di due vettori, per esempio, si ottiene sommando separatamente le componenti $x$ e le componenti $y$. Se una forza di dieci newton agisce orizzontalmente e una di dieci newton verticalmente sullo stesso punto, la risultante ha componenti $(10, 10)$ e quindi modulo $\sqrt{200} \approx 14{,}14$ newton, inclinata di $45°$ rispetto all'orizzontale. Allo stesso modo possiamo descrivere la traiettoria di un proiettile separando il moto orizzontale uniforme dal moto verticale uniformemente accelerato.
Prodotto scalare e prodotto vettoriale
Il prodotto scalare tra due vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ produce un numero (uno scalare) definito come $\vec{a} \cdot \vec{b} = ab\cos\theta$, dove $\theta$ è l'angolo compreso tra i due vettori. Questa operazione misura quanto un vettore si proietta sull'altro e compare ovunque ci sia un'idea di proiezione o di lavoro: il lavoro compiuto da una forza è infatti il prodotto scalare tra la forza e lo spostamento. Se trascini una valigia tirandola con una cinghia inclinata, solo la componente orizzontale della forza compie lavoro utile, e il prodotto scalare cattura esattamente questa idea.
Il prodotto vettoriale, invece, restituisce un nuovo vettore $\vec{a} \times \vec{b}$ il cui modulo è $ab\sin\theta$, la cui direzione è perpendicolare al piano dei due vettori, e il cui verso si determina con la regola della mano destra. Questo prodotto compare nei momenti delle forze, nel campo magnetico generato da correnti, nella forza di Lorentz e in molti altri contesti dove conta la torsione o la rotazione. Per esempio, il momento con cui una chiave inglese fa ruotare un bullone è il prodotto vettoriale tra il braccio e la forza applicata, e diventa massimo quando spingiamo perpendicolarmente al manico.
Ricorda
- Un vettore è caratterizzato da modulo, direzione, verso e punto di applicazione, mentre uno scalare è descritto da un solo numero.
- I vettori si sommano graficamente con il metodo punta-coda o con il parallelogramma, mai sommando direttamente i moduli (a meno che siano paralleli e concordi).
- Moltiplicare un vettore per uno scalare $k$ ne cambia il modulo di un fattore $|k|$ e ne inverte il verso se $k$ è negativo.
- Le componenti cartesiane permettono di trasformare ogni operazione vettoriale in calcoli algebrici: $v_x = v\cos\theta$, $v_y = v\sin\theta$, $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.
- Il prodotto scalare $\vec{a}\cdot\vec{b} = ab\cos\theta$ restituisce un numero; il prodotto vettoriale $\vec{a}\times\vec{b}$ restituisce un vettore di modulo $ab\sin\theta$ perpendicolare ai due.
Piccolo esercizio di verifica (sul quaderno): disegna su un foglio a quadretti due vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ applicati nell'origine, con $\vec{a}$ di modulo 4 quadretti diretto lungo l'asse $x$ positivo, e $\vec{b}$ di modulo 3 quadretti diretto lungo l'asse $y$ positivo. Determina graficamente la risultante $\vec{a}+\vec{b}$ con il metodo del parallelogramma, poi verifica numericamente che il suo modulo vale 5 quadretti e che l'angolo con l'asse $x$ è circa $36{,}87°$. Infine calcola le componenti del vettore $\vec{c} = 2\vec{a} - \vec{b}$ e disegnalo sullo stesso foglio.