Una funzione lineare è una relazione del tipo:
$$y = mx + q$$
Il suo grafico è una retta sul piano cartesiano.
Le parti
- m = coefficiente angolare (pendenza della retta).
- q = ordinata all'origine (dove la retta tocca l'asse y).
Cosa fa
Per ogni valore di x, calcola y. È una macchina: metti dentro x, esce y.
Esempio: $y = 2x + 3$.
| x | y = 2x + 3 |
|---|---|
| 0 | 3 |
| 1 | 5 |
| 2 | 7 |
| -1 | 1 |
Grafico
Disegnando i punti (x, y) ottieni una retta.
- Se m > 0: retta crescente (sale da sinistra a destra).
- Se m < 0: retta decrescente (scende).
- Se m = 0: retta orizzontale (y = q costante).
Esempi con vita reale
Costo di un servizio
Tassista: tariffa fissa €3 + €2 per km.
- $y = 2x + 3$ (x = km, y = euro).
- Per 5 km: $y = 2(5) + 3 = 13$ €.
Bolletta del cellulare
Costo mensile: canone €10 + €0,10 per minuto.
- $y = 0,10 x + 10$ (x = minuti, y = euro).
Velocità costante
Auto che parte da casa (km 0) a 60 km/h.
- Distanza dopo t ore: $d = 60 t$.
Casi particolari
Proporzionalità diretta
Se $q = 0$, la retta passa per l'origine: $$y = mx$$
y e x sono direttamente proporzionali: raddoppia x, raddoppia y.
Esempio: $y = 3x$. Se $x = 2$, $y = 6$. Se $x = 4$, $y = 12$.
Funzione costante
Se $m = 0$: $$y = q$$
La retta è orizzontale. y vale sempre q, qualunque sia x.
Trovare m e q da due punti
Date 2 punti A = ($x_1$, $y_1$) e B = ($x_2$, $y_2$):
Coefficiente angolare
$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$
Ordinata all'origine
Sostituisci m e un punto: $$q = y_1 - m \cdot x_1$$
Esempio: A = (1, 5), B = (3, 9).
- $m = (9-5)/(3-1) = 4/2 = 2$.
- $q = 5 - 2 \cdot 1 = 3$.
- Funzione: $y = 2x + 3$.
In pratica
Le funzioni lineari servono per:
- Calcolare costi in base a quantità (km, minuti, kg).
- Tradurre temperature (°F = 1,8 °C + 32, è una funzione lineare).
- Convertire valute (€ → $).
- Modellizzare fenomeni a velocità o crescita costante.
Sono il punto di partenza per studiare funzioni più complesse (parabole, esponenziali, sinusoidi). Padroneggiarle = avere uno strumento potente per descrivere il mondo.