Le frazioni sono numeri come gli altri: si possono sommare, sottrarre, moltiplicare, dividere. Bastano regole precise.
Ripasso veloce
Una frazione $\frac{a}{b}$ ha:
- Numeratore ($a$): in alto.
- Denominatore ($b$): in basso.
Esempio: $\frac{3}{4}$ = 3 quarti.
Addizione e sottrazione
Stesso denominatore
Si sommano (o sottraggono) i numeratori, il denominatore resta uguale.
$$\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$$
$$\frac{7}{8} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$
Denominatori diversi
Bisogna trovare il minimo comune denominatore (mcm), poi sommare/sottrarre i numeratori "convertiti".
Esempio: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$
- mcm di 2 e 3 = 6.
- $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ (moltiplico sopra e sotto per 3).
- $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ (moltiplico sopra e sotto per 2).
- $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.
Moltiplicazione
Si moltiplicano numeratore per numeratore e denominatore per denominatore.
$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$
Esempio: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$.
Semplificazione (prima di moltiplicare)
Se ci sono fattori comuni tra numeratore di una e denominatore dell'altra, si semplifica prima per semplificare i calcoli:
$$\frac{3}{4} \times \frac{8}{9} \quad \text{si semplifica:} \quad \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \times \frac{\cancel{8}^2}{\cancel{9}^3} = \frac{1 \times 2}{1 \times 3} = \frac{2}{3}$$
Divisione
Si moltiplica per il reciproco della seconda frazione (cioè la "capovolge"):
$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$
Esempio: $\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
Semplificare una frazione
Una frazione si semplifica dividendo numeratore e denominatore per il loro MCD (massimo comun divisore).
Esempio: $\frac{12}{18}$, MCD(12,18) = 6.
$$\frac{12}{18} = \frac{12 : 6}{18 : 6} = \frac{2}{3}$$
Una frazione è in forma minima quando numeratore e denominatore non hanno divisori comuni (oltre 1).
Frazioni e numeri interi
Per moltiplicare/dividere una frazione per un intero:
- $\frac{2}{3} \times 4 = \frac{2 \times 4}{3} = \frac{8}{3}$
- $5 : \frac{1}{2} = 5 \times 2 = 10$
Espressioni con frazioni
Si seguono le stesse regole delle espressioni con numeri interi:
- Parentesi prima.
- Potenze.
- Moltiplicazioni e divisioni (da sinistra a destra).
- Addizioni e sottrazioni (da sinistra a destra).
Esempio: $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$
- Prima moltiplicazione: $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
- Poi somma: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
In pratica
Le frazioni servono per:
- Ricette di cucina: $\frac{1}{4}$ kg di farina.
- Misure: $\frac{3}{4}$ d'ora = 45 min.
- Probabilità: $\frac{1}{6}$ di fare 6 col dado.
- Sconti, percentuali: 25% = $\frac{1}{4}$.
Saper fare operazioni con le frazioni è fondamentale per affrontare l'algebra al liceo o all'istituto tecnico.