Un'equazione è un'uguaglianza che contiene una lettera sconosciuta (di solito x). Risolvere vuol dire trovare il valore di x che rende vera l'uguaglianza.
Esempio semplicissimo
$x + 3 = 10$
Qual è il numero che sommato a 3 fa 10? x = 7.
Verifica: $7 + 3 = 10$ ✓
Le 4 regole d'oro
Per risolvere un'equazione si manipolano le due parti mantenendo l'uguaglianza:
1. Aggiungere o togliere lo stesso numero da entrambe le parti
$x + 3 = 10 \quad \Rightarrow \quad x + 3 - 3 = 10 - 3 \quad \Rightarrow \quad x = 7$
2. Moltiplicare o dividere per lo stesso numero (≠ 0)
$2x = 8 \quad \Rightarrow \quad \frac{2x}{2} = \frac{8}{2} \quad \Rightarrow \quad x = 4$
3. Regola del trasporto
Si può "trasportare" un termine dall'altra parte, cambiandogli il segno:
$x + 3 = 10 \quad \Rightarrow \quad x = 10 - 3 = 7$
$x - 5 = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 12 + 5 = 17$
4. Eliminare frazioni
Se ci sono denominatori, moltiplica tutto per il loro minimo comune.
$\frac{x}{3} = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \times 3 = 12$
Esempio risolto
$3x + 5 = 20$
- Trasporta il 5 a destra: $3x = 20 - 5 = 15$.
- Dividi per 3: $x = 15 / 3 = 5$.
- Verifica: $3 \times 5 + 5 = 15 + 5 = 20$ ✓
Esempio più complesso
$2x - 7 = x + 8$
- Porta le x a sinistra: $2x - x = 8 + 7$.
- Semplifica: $x = 15$.
- Verifica: $2(15) - 7 = 30 - 7 = 23$; $15 + 8 = 23$ ✓
Quando usare le equazioni
Problemi quotidiani
"Ho 30 €. Quanti quaderni da 4 € posso comprare?"
$4x = 30 \Rightarrow x = 7,5$ → 7 quaderni (non posso comprarne mezzo).
"Un padre ha il triplo dell'età del figlio. Insieme hanno 48 anni. Quanti anni ha il figlio?"
Sia $x$ l'età del figlio. Padre = $3x$. Somma: $x + 3x = 48 \Rightarrow 4x = 48 \Rightarrow x = 12$.
Il figlio ha 12 anni, il padre 36.
Tipi di soluzione
- Una sola soluzione: $2x = 10 \Rightarrow x = 5$ (quasi sempre).
- Nessuna soluzione: $x + 3 = x + 5$ → $3 = 5$, falso → equazione impossibile.
- Infinite soluzioni: $x + 3 = x + 3$ → $0 = 0$, sempre vero → equazione indeterminata.
In pratica
Le equazioni sono il linguaggio dell'algebra. Tutta la fisica, la chimica, l'economia, l'ingegneria si scrive con equazioni. Saperle risolvere ti apre le porte di tutte le scienze.