La probabilità è una misura di quanto sia "possibile" che un evento accada. Si esprime con un numero da 0 a 1 (o da 0% a 100%):
- 0 = impossibile.
- 0,5 (50%) = ugualmente probabile / improbabile.
- 1 (100%) = certo.
La formula classica (Laplace)
$$P(\text{evento}) = \frac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}}$$
(Valida se i casi sono ugualmente probabili.)
Esempi semplici
Lancio di una moneta
Casi possibili: testa, croce → 2.
- $P(\text{testa}) = \frac{1}{2} = 0,5 = 50%$
- $P(\text{croce}) = \frac{1}{2} = 50%$
Lancio di un dado
Casi possibili: 1, 2, 3, 4, 5, 6 → 6.
- $P(\text{esce 4}) = \frac{1}{6} \approx 0,167 = 16,7%$
- $P(\text{numero pari}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50%$
- $P(\text{numero maggiore di 4}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 33,3%$
Estrazione da un mazzo di carte
Carte totali: 40 (mazzo italiano), divise in 4 semi × 10 valori.
- $P(\text{asso}) = \frac{4}{40} = \frac{1}{10} = 10%$
- $P(\text{re di coppe}) = \frac{1}{40} = 2,5%$
Le proprietà
Evento certo
$P(\text{certo}) = 1$ (es. "esce un numero da 1 a 6 nel dado").
Evento impossibile
$P(\text{impossibile}) = 0$ (es. "esce 7 nel dado").
Somma a 1
La somma delle probabilità di tutti gli esiti possibili è sempre 1.
Es: P(testa) + P(croce) = 0,5 + 0,5 = 1.
Evento contrario
$$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$
Es: $P(\text{non esce 6}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
Eventi composti
Unione: A o B (l'uno o l'altro)
Per eventi incompatibili (non possono accadere insieme): $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$
Es: lanci un dado.
- $P(\text{esce 2 o 5}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Intersezione: A e B (entrambi)
Per eventi indipendenti (l'uno non influenza l'altro): $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$
Es: lanci 2 monete.
- $P(\text{prima testa E seconda testa}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
Probabilità frequentista
Se non puoi calcolare a priori, fai l'esperimento tante volte:
$$P \approx \frac{\text{volte che è accaduto}}{\text{volte che hai provato}}$$
Più prove fai, più la stima è precisa (legge dei grandi numeri).
Es: lancia una moneta 1000 volte. Conta le teste. Se sono 498, $P(\text{testa}) \approx 0,498$ → vicino a 0,5 atteso.
Esempi dalla vita
Lotteria
Vinci con 1 biglietto su 100 000 venduti: $P = \frac{1}{100,000} = 0,001%$. (Statisticamente, non vincerai.)
Calcio
La squadra A ha vinto 6 partite su 10 contro B. $P(\text{A vince la prossima}) \approx 0,6$.
Meteo
"70% di pioggia domani": di 100 giorni con condizioni simili, 70 hanno piovuto.
Genetica
Se due genitori portano un gene recessivo, $P(\text{figlio lo manifesti}) = \frac{1}{4} = 25%$.
In pratica
La probabilità governa:
- Giochi d'azzardo (i casinò vincono perché conoscono le probabilità!).
- Assicurazioni (calcolano premi su rischi).
- Medicina (probabilità di malattia, efficacia di un farmaco).
- Scienza (meccanica quantistica = solo probabilità).
- Sport (statistiche, scommesse).
Capire la probabilità ti difende da chi vuole ingannarti coi numeri (lotterie, scommesse "vincenti").