In breve: Il piano cartesiano serve a disegnare relazioni tra due grandezze. Aiuta a vedere come una quantità cambia al variare di un'altra.
Cos'è il piano cartesiano
Il piano cartesiano è formato da due rette perpendicolari. La retta orizzontale si chiama asse delle x. La retta verticale si chiama asse delle y.
Le due rette si incontrano in un punto chiamato origine. Ogni punto del piano ha due numeri, detti coordinate.
Le coordinate si scrivono fra parentesi, come P(3; 2). Il primo numero indica la posizione orizzontale. Il secondo numero indica la posizione verticale.
Rappresentare relazioni e funzioni
Una funzione lega due grandezze: quando una cambia, cambia anche l'altra. Possiamo costruire una tabella di valori e poi disegnare i punti sul piano.
Studiamo quattro tipi importanti di funzioni:
- y = ax: il grafico è una retta che passa per l'origine. Rappresenta la proporzionalità diretta.
- y = a/x: il grafico è una curva chiamata iperbole. Rappresenta la proporzionalità inversa.
- y = ax²: il grafico è una curva chiamata parabola.
- y = 2ⁿ: descrive una crescita molto rapida, detta esponenziale.
Nella proporzionalità diretta, se una grandezza raddoppia, anche l'altra raddoppia. Nella proporzionalità inversa, se una grandezza raddoppia, l'altra si dimezza.
Esempi pratici
Esempio 1 — y = ax (proporzionalità diretta). Un litro di benzina costa 2 euro. La spesa y dipende dai litri x: y = 2x. Per 1 litro spendo 2 euro, per 3 litri spendo 6 euro. I punti (1; 2), (2; 4), (3; 6) stanno su una retta.
Esempio 2 — y = a/x (proporzionalità inversa). Devo percorrere 60 km. Il tempo y dipende dalla velocità x: y = 60/x. A 30 km/h impiego 2 ore, a 60 km/h impiego 1 ora. I punti formano una curva che scende.
Esempio 3 — y = ax². L'area di un quadrato dipende dal lato: y = x². Se il lato è 2, l'area è 4. Se il lato è 3, l'area è 9. Il grafico è una parabola.
Esempio 4 — come procedere.
- Costruisci una tabella con valori di x e y.
- Segna ogni coppia (x; y) come punto sul piano.
- Collega i punti e osserva la forma del grafico.
Parole difficili
- Coordinate: coppia di numeri che indica la posizione di un punto sul piano.
- Origine: punto in cui si incrociano gli assi; ha coordinate (0; 0).
- Funzione: legge che a ogni valore di x associa un solo valore di y.
- Proporzionalità diretta: relazione in cui due grandezze aumentano o diminuiscono insieme.
- Proporzionalità inversa: relazione in cui se una grandezza cresce, l'altra cala.
- Parabola: curva a forma di U, grafico della funzione y = ax².
Riferimenti
- Norma: Indicazioni nazionali per il curricolo della scuola dell'infanzia e del primo ciclo d'istruzione
- Obiettivo formativo coperto: ob.sec-1grado.matematica.cl3.relazioni-e-funzioni.03