In breve: Alcune proprietà di una figura non cambiano quando la spostiamo, ruotiamo o ingrandiamo. Queste proprietà si chiamano invarianti.
Cosa significa "trasformare" una figura
Una trasformazione è un modo per spostare o modificare una figura nel piano. Possiamo traslarla, ruotarla, ribaltarla oppure ingrandirla. Dopo la trasformazione otteniamo una nuova figura, chiamata immagine.
Alcune caratteristiche restano uguali, altre cambiano. Le caratteristiche che restano uguali si dicono invarianti. Studiarle è utile in grafica, perché molti loghi e disegni si basano su queste regole.
Le trasformazioni principali e cosa conservano
Le trasformazioni si dividono in famiglie. Ogni famiglia conserva proprietà diverse.
Le isometrie sono traslazioni, rotazioni e simmetrie. Conservano le distanze tra i punti. Quindi conservano anche lunghezze, angoli, aree e la forma della figura.
Le similitudini comprendono le isometrie e le omotetie. Non conservano le lunghezze, ma conservano gli angoli. Conservano anche il rapporto tra segmenti corrispondenti.
Le affinità sono trasformazioni più generali. Conservano il parallelismo tra rette e l'allineamento dei punti. Non conservano però angoli e lunghezze.
Alcune proprietà restano invarianti in quasi tutte le trasformazioni studiate. Per esempio, una retta resta una retta e un punto resta un punto.
Esempi pratici dalla grafica
Pensa al logo di una squadra stampato su una maglietta e su un manifesto. Le dimensioni sono diverse, ma la forma è la stessa. Qui agisce una similitudine: gli angoli e le proporzioni restano invariati.
Spostare un'icona da sinistra a destra dello schermo è una traslazione. La forma, le dimensioni e gli angoli restano identici.
Ribaltare un disegno per creare un effetto specchio è una simmetria. Le lunghezze e gli angoli non cambiano, ma cambia l'orientamento.
Allungare solo in orizzontale un'immagine è invece un'affinità. Le rette parallele restano parallele, ma gli angoli possono cambiare.
Come si verifica un'invariante
Per controllare se una proprietà è invariante, segui tre passi. Prima misura la proprietà sulla figura iniziale. Poi applica la trasformazione e misura di nuovo sulla figura trasformata. Infine confronta i due valori.
Se i valori coincidono per ogni figura possibile, la proprietà è invariante per quella trasformazione.
Parole difficili
- Invariante: proprietà che non cambia dopo una trasformazione.
- Isometria: trasformazione che conserva le distanze tra i punti.
- Similitudine: trasformazione che conserva gli angoli e le proporzioni.
- Omotetia: ingrandimento o riduzione di una figura rispetto a un centro.
- Affinità: trasformazione che conserva parallelismo e allineamento.
- Immagine: figura ottenuta dopo aver applicato la trasformazione.
Riferimenti
- Norma: Riordino degli istituti tecnici
- Obiettivo formativo coperto: ob.tecnico-grafica-comunicazione.complementi-di-matematica.cl3.trasformazioni-piano.01