Una potenza è un modo veloce per scrivere una moltiplicazione di fattori uguali.
Come si scrive
$$a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ volte}}$$
- a è la base (il numero che si moltiplica).
- n è l'esponente (quante volte si moltiplica).
Esempi
- $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
- $5^2 = 5 \times 5 = 25$
- $10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10,000$
Casi particolari
| Potenza | Valore | Perché |
|---|---|---|
| $a^1$ | $a$ | un solo fattore |
| $a^0$ | $1$ | convenzione (vale per ogni $a \neq 0$) |
| $1^n$ | $1$ | $1 \times 1 \times \ldots = 1$ |
| $0^n$ | $0$ | (per $n > 0$) |
Le potenze di 10
Sono speciali perché basta contare gli zeri:
- $10^2 = 100$ (2 zeri)
- $10^3 = 1000$ (3 zeri)
- $10^6 = 1,000,000$ (un milione, 6 zeri)
Si usano per scrivere numeri grandi: 7 miliardi = $7 \times 10^9$.
Proprietà fondamentali
Prodotto di potenze con stessa base
$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$
Esempio: $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$.
Quoziente di potenze con stessa base
$$a^m \div a^n = a^{m-n}$$
Esempio: $10^5 \div 10^2 = 10^{5-2} = 10^3 = 1000$.
Potenza di potenza
$$(a^m)^n = a^{m \times n}$$
Esempio: $(3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8$.
In pratica
Le potenze servono per:
- Numeri molto grandi (galassie, popolazione mondiale).
- Numeri molto piccoli (atomi, virus): si usano potenze con esponente negativo ($10^{-6} = 0,000001$).
- Aree e volumi: l'area di un quadrato di lato $a$ è $a^2$; il volume di un cubo è $a^3$.
Conoscere le potenze ti apre la porta a fisica, chimica, informatica.