Che cos'è una potenza
Una potenza è una moltiplicazione ripetuta di uno stesso numero, scritta in forma breve con base ed esponente.
Quando dobbiamo moltiplicare uno stesso numero più volte, la matematica ci offre una scrittura compatta che si chiama potenza. Invece di scrivere 3 × 3 × 3 × 3, possiamo scrivere semplicemente 3⁴, leggendo l'espressione come "tre alla quarta". Il numero che viene moltiplicato si chiama base, mentre il numero piccolo scritto in alto a destra si chiama esponente e indica quante volte la base compare nella moltiplicazione. Il risultato della potenza prende il nome di valore della potenza, e nell'esempio appena fatto è 81, perché 3 × 3 × 3 × 3 = 81. È importante non confondere la potenza con una moltiplicazione tra base ed esponente: scrivere 3⁴ non significa 3 × 4, che farebbe 12, ma significa moltiplicare il 3 per sé stesso quattro volte. Le potenze rendono più veloci e ordinati i calcoli, soprattutto quando i numeri diventano grandi e ripetere la stessa scrittura sarebbe scomodo.
Casi particolari e proprietà fondamentali
Esistono alcuni casi particolari che dobbiamo memorizzare con cura, perché si incontrano in moltissimi esercizi. Qualunque numero diverso da zero elevato a 1 dà come risultato sé stesso, quindi 7¹ = 7, perché stiamo moltiplicando la base una sola volta. Qualunque numero diverso da zero elevato a 0 dà invece come risultato 1, una regola che a prima vista sorprende ma che serve a mantenere coerenti tutte le altre proprietà. Le potenze del numero 1 sono sempre uguali a 1, mentre le potenze di 10 sono particolarmente comode perché si scrivono come 1 seguito da tanti zeri quanti ne indica l'esponente, e infatti 10³ = 1000. Accanto a questi casi, esistono regole operative che permettono di semplificare i calcoli senza svolgere ogni moltiplicazione: il prodotto di due potenze con la stessa base si ottiene mantenendo la base e sommando gli esponenti, mentre il quoziente si calcola sottraendo gli esponenti. Quando invece dobbiamo elevare una potenza a un'altra potenza, manteniamo la base e moltiplichiamo gli esponenti tra loro, ottenendo così una scrittura ancora più sintetica.
Ricorda
- La potenza è una scrittura abbreviata: la base è il numero che si moltiplica e l'esponente dice quante volte va moltiplicato per sé stesso.
- Ogni numero diverso da zero elevato a 0 fa 1, e ogni numero elevato a 1 fa sé stesso: sono regole da imparare a memoria.
- Con la stessa base: nei prodotti si sommano gli esponenti, nei quozienti si sottraggono, nella potenza di potenza si moltiplicano.
- Verifica attiva: sul tuo quaderno calcola il valore di 2⁵, poi scrivi sotto forma di potenza il prodotto 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 e infine semplifica l'espressione 4³ × 4² scrivendo il risultato come un'unica potenza.