Introduzione
Lo studio dei massimi, dei minimi e dei flessi è una delle applicazioni più potenti del calcolo differenziale e permette di descrivere con precisione l'andamento di una funzione reale. Grazie alle derivate possiamo individuare i punti in cui la funzione raggiunge il valore più alto o più basso in un intorno, distinguendo gli estremi locali da quelli assoluti. Inoltre possiamo riconoscere i flessi, cioè i punti in cui la concavità cambia, completando così il quadro qualitativo del grafico. Questi strumenti sono indispensabili per affrontare problemi di ottimizzazione, dalla geometria all'economia, dalla fisica alle scienze applicate.
Massimi e minimi: derivata prima
Un punto interno al dominio si dice di massimo o di minimo relativo quando il valore della funzione in quel punto è, rispettivamente, maggiore o minore dei valori assunti in un intorno. Il teorema di Fermat afferma che, se la funzione è derivabile in un estremo interno, allora la derivata prima in quel punto deve annullarsi. I punti che annullano la derivata prima si chiamano punti stazionari o critici e costituiscono i candidati naturali a essere massimi o minimi. Per stabilire la natura di un punto stazionario si studia il segno della derivata prima nell'intorno: se passa da positiva a negativa il punto è di massimo, se passa da negativa a positiva è di minimo, mentre se non cambia segno si tratta di un flesso a tangente orizzontale. È importante ricordare che esistono anche estremi in punti dove la derivata non esiste, come cuspidi e punti angolosi, e che gli estremi assoluti su un intervallo chiuso vanno cercati anche agli estremi del dominio.
Consideriamo come esempio la funzione f(x) = x³ − 3x + 2 definita su tutto l'asse reale. Calcolando f'(x) = 3x² − 3 e imponendo f'(x) = 0 si ottengono i punti stazionari x = −1 e x = +1. Studiando il segno di f'(x) si osserva che è positiva per x < −1, negativa tra −1 e +1, positiva per x > +1: quindi in x = −1 c'è un massimo relativo di valore f(−1) = 4, mentre in x = +1 c'è un minimo relativo di valore f(+1) = 0.
Concavità e flessi: derivata seconda
La derivata seconda fornisce informazioni sulla concavità del grafico e sulla presenza di flessi. Se f''(x) > 0 in un intervallo la funzione è convessa, cioè il grafico volge la concavità verso l'alto; se f''(x) < 0 la funzione è concava e volge la concavità verso il basso. I punti in cui la concavità cambia, e in particolare quelli in cui la derivata seconda si annulla cambiando segno, si chiamano punti di flesso. I flessi possono essere a tangente obliqua, quando f'(x) ≠ 0, a tangente orizzontale, quando coincidono con un punto stazionario non estremante, oppure a tangente verticale, quando la derivata diverge. Per classificare i punti stazionari si può anche usare il test della derivata seconda: se f'(x₀) = 0 e f''(x₀) > 0 allora x₀ è un minimo, se f''(x₀) < 0 è un massimo, se f''(x₀) = 0 il test è inconcludente e bisogna ricorrere allo studio del segno o alle derivate successive.
Ricorda
- I punti stazionari si trovano risolvendo f'(x) = 0; la loro natura si stabilisce con lo studio del segno di f'(x) oppure con il test della derivata seconda.
- La derivata seconda governa concavità e flessi: f'' > 0 indica convessità, f'' < 0 indica concavità, e i flessi si trovano dove f'' cambia segno.
- Esercizio attivo sul quaderno: data la funzione g(x) = x⁴ − 4x³, calcola g'(x), individua i punti stazionari, classificali con lo studio del segno e poi usa g''(x) per trovare i punti di flesso, indicando in ciascun caso la natura ottenuta.