La derivata misura quanto velocemente una funzione cambia in un punto e si calcola come limite del rapporto incrementale.
In matematica capita spesso di chiedersi non solo quanto vale una funzione, ma con quale rapidità sta cambiando in un determinato istante. Pensiamo a un'automobile che percorre una strada: lo spazio percorso è una funzione del tempo, ma ciò che il tachimetro segnala è la velocità istantanea, cioè la rapidità con cui lo spazio varia. La derivata nasce proprio per rispondere a domande di questo tipo, traducendo l'idea intuitiva di variazione istantanea in un oggetto matematico preciso e calcolabile. Nei programmi di fisica questa stessa quantità viene chiamata tasso di variazione, e ritroverai questo linguaggio quando studierai velocità, accelerazione o intensità di corrente. Il concetto unisce due rami diversi del pensiero matematico: l'algebra dei limiti e la geometria delle rette tangenti a una curva.
Dal rapporto incrementale alla derivata
Partiamo da una funzione f definita in un intorno del punto x₀ e consideriamo un secondo punto vicino x₀+h, con h piccolo a piacere. Il rapporto incrementale è il quoziente (f(x₀+h) − f(x₀))/h, che geometricamente rappresenta il coefficiente angolare della retta secante passante per i due punti del grafico. Quando facciamo tendere h a zero, i due punti si avvicinano fino a sovrapporsi e la secante si trasforma nella retta tangente al grafico in x₀. La derivata di f in x₀, indicata con f′(x₀), è definita come il limite per h che tende a zero di quel rapporto incrementale, sempre che tale limite esista finito. Se il limite esiste diciamo che la funzione è derivabile in x₀, e il valore numerico ottenuto rappresenta la pendenza esatta della curva in quel punto. Ad esempio, per f(x)=x² in x₀=3 il rapporto incrementale vale ((3+h)²−9)/h = 6+h, e passando al limite per h→0 otteniamo f′(3)=6, che è il coefficiente angolare della tangente alla parabola nel punto di ascissa 3.
Regole di derivazione e funzione derivata
Calcolare ogni volta un limite sarebbe scomodo, perciò si dimostrano regole generali che permettono di derivare rapidamente quasi tutte le funzioni elementari. Per le potenze vale la formula D(xⁿ)=n·xⁿ⁻¹, mentre la derivata di una costante è zero perché una funzione costante non varia. Per le funzioni trigonometriche fondamentali abbiamo D(sin x)=cos x e D(cos x)=−sin x, mentre per esponenziale e logaritmo naturale valgono D(eˣ)=eˣ e D(ln x)=1/x. Le regole operative permettono di combinare queste derivate: la derivata di una somma è la somma delle derivate, quella di un prodotto segue la formula (f·g)′=f′g+fg′ e quella di un quoziente la formula (f/g)′=(f′g−fg′)/g². Per le funzioni composte si applica la regola della catena, secondo cui D(f(g(x)))=f′(g(x))·g′(x), strumento indispensabile quando una funzione contiene un'altra funzione al suo interno. Applicando queste regole otteniamo una nuova funzione, detta funzione derivata, che a ogni x associa la pendenza della tangente al grafico di f in quel punto, e il suo studio permette di individuare massimi, minimi e intervalli di crescenza o decrescenza.
Ricorda
- La derivata f′(x₀) è il limite del rapporto incrementale per h→0 e coincide con il coefficiente angolare della retta tangente al grafico in quel punto.
- Le regole fondamentali da memorizzare sono quella delle potenze, della somma, del prodotto, del quoziente e soprattutto la regola della catena per le funzioni composte.
- Esercizio attivo sul quaderno: calcola la derivata di f(x)=(2x+1)³ usando la regola della catena, poi verifica il risultato sviluppando prima il cubo e derivando termine a termine, e confronta le due espressioni.